Учитывая несортированный массив, найдите разницу max j - i между индексами, такую что j > i и a[j] > a[i] в O(n). Я могу найти j и i с помощью тривиальных методов в O(n^2) сложности, но хотел бы знать, как это сделать в O(n)?
Вход: {9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 0}
Выход: 8 (j = 8, я = 0)
Вход: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Выход: 5 (j = 5, я = 0)
Для краткости я собираюсь предположить, что все элементы уникальны. Алгоритм может быть расширен для обработки неединственного элемента.
Во-первых, обратите внимание, что если x и y являются вашими желаемыми местами max и min соответственно, тогда не может быть никаких a[i] > a[x] и i > x, и аналогично, no a[j] < a[y] и j < y.
Итак, мы сканируем массив a и построим массив S, так что S[i] содержит индекс минимального элемента в a[0:i]. Аналогично массив T, который содержит индекс максимального элемента в a[n-1:i] (т.е. Назад).
Теперь мы можем видеть, что a[S[i]] и a[T[i]] обязательно уменьшают последовательности, поскольку они были минимальными до i и максимумом от n до i соответственно.
Итак, теперь мы пытаемся выполнить процедуру сортировки типа слияния. На каждом шаге, если a[S[head]] < a[T[head]], мы выталкиваем элемент из T, иначе мы вытаскиваем элемент из S. На каждом таком этапе записываем разницу в голове S и T, если a[S[head]] < a[T[head]]. Максимальное такое различие дает вам свой ответ.
EDIT: Вот простой код в Python, реализующий алгоритм.
def getMaxDist(arr):
# get minima going forward
minimum = float("inf")
minima = collections.deque()
for i in range(len(arr)):
if arr[i] < minimum:
minimum = arr[i]
minima.append((arr[i], i))
# get maxima going back
maximum = float("-inf")
maxima = collections.deque()
for i in range(len(arr)-1,0,-1):
if arr[i] > maximum:
maximum = arr[i]
maxima.appendleft((arr[i], i))
# do merge between maxima and minima
maxdist = 0
while len(maxima) and len(minima):
if maxima[0][0] > minima[0][0]:
if maxima[0][1] - minima[0][1] > maxdist:
maxdist = maxima[0][1] - minima[0][1]
maxima.popleft()
else:
minima.popleft()
return maxdist
Пусть сделаем это простое наблюдение: если мы имеем 2 элемента a [i], a [j] с я < j и a [i] a [j], тогда мы можем быть уверены, что j не будет частью решения в качестве первого элемента (он может быть вторым, но вторым), потому что я был бы лучшей альтернативой.
То, что это говорит нам, состоит в том, что, если мы будем строить жадно, то оттуда, конечно, придет убывающая последовательность из элементов левой части ответа.
Например, для: 12 3 61 23 51 2 жадно уменьшающаяся последовательность построена следующим образом:
12 → 12 3 → игнорируем 61, потому что он хуже 3 → игнорируем 23, потому что он хуже 3 → игнорируем 51, потому что он хуже 3 → 12 3 2.
Таким образом, ответ будет содержать на левой стороне 12 3 или 2.
Теперь в случайном случае это имеет длину O (log N), поэтому вы можете бинарный поиск на нем для каждого элемента в качестве правой части ответа, и вы получите O (N log log N), что хорошо, и если вы применяете ту же логику в правой части строки в случайном случае, вы можете получить O (log ^ 2 N + N (из чтения)), который является O (N). Но мы также можем делать O (N) в неслучайном случае.
Предположим, что мы имеем эту убывающую последовательность. Мы начинаем справа от строки и делаем следующее, пока мы можем связать последнюю из уменьшающейся последовательности с текущим числом
1) Если мы нашли лучшее решение, взяв последнюю из уменьшающейся последовательности и текущее число, чем обновляем ответ
2) Даже если мы обновим ответ или нет, мы выставим последний элемент уменьшающейся последовательности, потому что мы это идеальное соответствие (любое другое совпадение будет слева и даст ответ с меньшим j - i)
3) Повторяем, пока мы можем соединить эти 2
Пример кода:
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int N; cin >> N;
vector<int> A(N + 1);
for (int i = 1; i <= N; ++i)
cin >> A[i];
// let solve the problem
vector<int> decreasing;
pair<int, int> answer;
// build the decreasing sequence
decreasing.push_back(1);
for (int i = 1; i <= N; ++i)
if (A[i] < A[decreasing.back()])
decreasing.push_back(i); // we work with indexes because we might have equal values
for (int i = N; i > 0; --i) {
while (decreasing.size() and A[decreasing.back()] < A[i]) { // while we can pair these 2
pair<int, int> current_pair(decreasing.back(), i);
if (current_pair.second - current_pair.first > answer.second - answer.first)
answer = current_pair;
decreasing.pop_back();
}
}
cout << "Best pair found: (" << answer.first << ", " << answer.second << ") with values (" << A[answer.first] << ", " << A[answer.second] << ")\n";
}
Позднее Редактировать: Я вижу, что вы привели пример: я проиндексировал из 1, чтобы сделать его более ясным, и я печатаю (i, j) вместо (j, i). Вы можете изменить его по своему усмотрению.
Чтобы решить эту проблему, нам нужно получить два оптимальных индекса arr []: левый индекс я и правый индекс j. Для элемента arr [i] нет необходимости рассматривать arr [i] для левого индекса, если в левой части arr [i] есть элемент, меньший, чем arr [i]. Аналогично, если в правой части arr [j] имеется больший элемент, то нам не нужно рассматривать этот j для индекса справа. Итак, мы построим два вспомогательных массива LMin [] и RMax [] такие, что LMin [i] содержит наименьший элемент в левой части arr [i], включая arr [i], а RMax [j] содержит наибольший элемент в правой части arr [j], включая arr [j]. После построения этих двух вспомогательных массивов мы перемещаем обе эти массивы слева направо. Если мы пересекаем LMin [] и RMa [], если мы видим, что LMin [i] больше RMax [j], то мы должны двигаться вперед в LMin [] (или do я ++), потому что все элементы слева от LMin [i] больше или равно LMin [i]. В противном случае мы должны двигаться вперед в RMax [j], чтобы искать большее значение j - i. Вот код c, выполняющийся в O (n) времени:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/* Utility Functions to get max and minimum of two integers */
int max(int x, int y)
{
return x > y? x : y;
}
int min(int x, int y)
{
return x < y? x : y;
}
/* For a given array arr[], returns the maximum j – i such that
arr[j] > arr[i] */
int maxIndexDiff(int arr[], int n)
{
int maxDiff;
int i, j;
int *LMin = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
int *RMax = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
/* Construct LMin[] such that LMin[i] stores the minimum value
from (arr[0], arr[1], ... arr[i]) */
LMin[0] = arr[0];
for (i = 1; i < n; ++i)
LMin[i] = min(arr[i], LMin[i-1]);
/* Construct RMax[] such that RMax[j] stores the maximum value
from (arr[j], arr[j+1], ..arr[n-1]) */
RMax[n-1] = arr[n-1];
for (j = n-2; j >= 0; --j)
RMax[j] = max(arr[j], RMax[j+1]);
/* Traverse both arrays from left to right to find optimum j - i
This process is similar to merge() of MergeSort */
i = 0, j = 0, maxDiff = -1;
while (j < n && i < n)
{
if (LMin[i] < RMax[j])
{
maxDiff = max(maxDiff, j-i);
j = j + 1;
}
else
i = i+1;
}
return maxDiff;
}
/* Driver program to test above functions */
int main()
{
int arr[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int maxDiff = maxIndexDiff(arr, n);
printf("\n %d", maxDiff);
getchar();
return 0;
}
Мы можем избежать проверки всего массива, начиная с максимальной разницы ji и сравнивая arr[j]>arr[i] для всех возможных комбинаций j и я для этой конкретной максимальной разности всякий раз, когда мы получаем комбинацию (j,i) с помощью arr[j]>arr[i] мы можем выйти из цикла
Пример: в массиве
{2,3,4,5,8,1}первый код проверяет максимальную разницу5(5-0)т.(arr[0],arr[5]), еслиarr[5]>arr[0]Функцияarr[5]>arr[0]выйдет, иначе примут комбинации max diff4(5,1) and (4,0) ie arr[5],arr[1] and arr[4],arr[0]
int maxIndexDiff(int arr[], int n)
{
int maxDiff = n-1;
int i, j;
while (maxDiff>0)
{
j=n-1;
while(j>=maxDiff)
{
i=j-maxDiff;
if(arr[j]>arr[i])
{
return maxDiff;
}
j=j-1;
}
maxDiff=maxDiff-1;
}
return -1;
}'
Вот очень простая реализация O (n) Python объединенной идеи с последующей последовательностью. Реализация работает даже в случае повторяющихся значений:
downs = [0]
for i in range(N):
if ar[i] < ar[downs[-1]]:
downs.append(i)
best = 0
i, j = len(downs)-1, N-1
while i >= 0:
if ar[downs[i]] <= ar[j]:
best = max(best, j-downs[i])
i -= 1
else:
j -= 1
print best
Я могу думать о совершенствовании над O (n ^ 2), но нужно проверить, является ли это O (n) в худшем случае или нет.
- Создайте переменную
BestSoln=0;и перемещайте массив для первого элемента и сохранить наилучшее решение для первого элемента i.ebestSoln=k;.- Теперь для второго элемента рассмотрим только элементы, которые
kудалены от второго элемента.- Если
BestSoln в этом случае лучше первой итерации, тогда замените иначе это будет так. Продолжайте итерацию для других элементов.
Это можно улучшить, если мы сохраним максимальный элемент для каждого подмассива, начиная с i до конца.
Это можно сделать в O (n), пройдя массив от конца.
Если конкретный элемент больше локального max, тогда нет необходимости делать оценку для этого элемента.
Вход:
{9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 0}
создать локальный массив max для этого массива:
[18,18,18,18,18,18,18,0,0] O(n).
Теперь перейдите к массиву для 9, здесь лучшим решением будет i=0,j=8.
Теперь для второго элемента или после него нам не нужно оценивать. и наилучшим решением является i=0,j=8.
Но предположим, что array - Input:
{19, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 0,4}
Локальный максимальный массив [18,18,18,18,18,18,18,0,0], то на первой итерации нам не нужно оценивать, как локальный максимум меньше текущего элемента.
Теперь для второй итерации лучшим решением является i=1,j=10. Теперь для других элементов нам не нужно рассматривать оценку, поскольку они не могут дать лучшее решение.
Позвольте мне узнать ваше мнение о вашем случае использования, к которому мое решение не применимо.
Это очень простое решение для O (2n) скорости и дополнительного ~ O (2n) пространства (в дополнение к входному массиву). Следующая реализация выполняется в C:
int findMaxDiff(int array[], int size) {
int index = 0;
int maxima[size];
int indexes[size];
while (index < size) {
int max = array[index];
int i;
for (i = index; i < size; i++) {
if (array[i] > max) {
max = array[i];
indexes[index] = i;
}
}
maxima[index] = max;
index++;
}
int j;
int result;
for (j = 0; j < size; j++) {
int max2 = 0;
if (maxima[j] - array[j] > max2) {
max2 = maxima[j] - array[j];
result = indexes[j];
}
}
return result;
}
Первый цикл проверяет массив один раз, нахождение для каждого элемента максимума остальных элементов справа. Мы также сохраняем относительный индекс в отдельном массиве. Вторая петля находит максимум между каждым элементом и соответствующим правым правым рядом и возвращает правый индекс.
Мое решение с помощью O (log n) (Пожалуйста, исправьте меня здесь, если я ошибаюсь при вычислении этой сложности) время...
Идея заключается в том, чтобы вставить в BST, а затем выполнить поиск node, и если node имеет правильный дочерний элемент, то перейдите через правое вспомогательное дерево, чтобы вычислить node с максимальным индексом.
import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
/* Name of the class has to be "Main" only if the class is public. */
class Ideone
{
public static void main (String[] args) throws IOException{
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int t1 = Integer.parseInt(br.readLine());
for(int j=0;j<t1;j++){
int size = Integer.parseInt(br.readLine());
String input = br.readLine();
String[] t = input.split(" ");
Node root = new Node(Integer.parseInt(t[0]),0);
for(int i=1;i<size;i++){
Node addNode = new Node(Integer.parseInt(t[i]),i);
insertIntoBST(root,addNode);
}
for(String s: t){
Node nd = findNode(root,Integer.parseInt(s));
if(nd.right != null){
int i = nd.index;
int j1 = calculate(nd.right);
mVal = max(mVal,j1-i);
}
}
System.out.println(mVal);
mVal=0;
}
}
static int mVal =0;
public static int calculate (Node root){
if(root==null){
return -1;
}
int i = max(calculate(root.left),calculate(root.right));
return max(root.index,i);
}
public static Node findNode(Node root,int n){
if(root==null){
return null;
}
if(root.value == n){
return root;
}
Node result = findNode(root.left,n);
if(result ==null){
result = findNode(root.right,n);
}
return result;
}
public static int max(int a , int b){
return a<b?b:a;
}
public static class Node{
Node left;
Node right;
int value;
int index;
public Node(int value,int index){
this.value = value;
this.index = index;
}
}
public static void insertIntoBST(Node root, Node addNode){
if(root.value< addNode.value){
if(root.right!=null){
insertIntoBST(root.right,addNode);
}else{
root.right = addNode;
}
}
if(root.value>=addNode.value){
if(root.left!=null){
insertIntoBST(root.left,addNode);
}else{
root.left =addNode;
}
}
}
}
Упрощенный алгоритм ответа Subhasis Das:
# assume list is not empty
max_dist = 0
acceptable_min = (0, arr[0])
acceptable_max = (0, arr[0])
min = (0, arr[0])
for i in range(len(arr)):
if arr[i] < min[1]:
min = (i, arr[i])
elif arr[i] - min[1] > max_dist:
max_dist = arr[i] - min[1]
acceptable_min = min
acceptable_max = (i, arr[i])
# acceptable_min[0] is the i
# acceptable_max[0] is the j
# max_dist is the max difference
Упрощенная версия Subhasis Das отвечает с использованием вспомогательных массивов.
def maxdistance(nums):
n = len(nums)
minima ,maxima = [None]*n, [None]*n
minima[0],maxima[n-1] = nums[0],nums[n-1]
for i in range(1,n):
minima[i] = min(nums[i],minima[i-1])
for i in range(n-2,-1,-1):
maxima[i]= max(nums[i],maxima[i+1])
i,j,maxdist = 0,0,-1
while(i<n and j<n):
if minima[i] <maxima[j]:
maxdist = max(j-i,maxdist)
j = j+1
else:
i += 1
print maxdist
Ниже приведено решение C++ для условия a[i] <= a[j]. Требуется небольшая модификация для обработки случая a[i] < a[j].
template<typename T>
std::size_t max_dist_sorted_pair(const std::vector<T>& seq)
{
const auto n = seq.size();
const auto less = [&seq](std::size_t i, std::size_t j)
{ return seq[i] < seq[j]; };
// max_right[i] is the position of the rightmost
// largest element in the suffix seq[i..]
std::vector<std::size_t> max_right(n);
max_right.back() = n - 1;
for (auto i = n - 1; i > 0; --i)
max_right[i - 1] = std::max(max_right[i], i - 1, less);
std::size_t max_dist = 0;
for (std::size_t i = 0, j = 0; i < n; ++i)
while (!less(max_right[j], i))
{
j = max_right[j];
max_dist = std::max(max_dist, j - i);
if (++j == n)
return max_dist;
}
return max_dist;
}
Я решил этот вопрос здесь.
https://github.com/nagendra547/coding-practice/blob/master/src/arrays/FindMaxIndexDifference.java
Вводить код здесь тоже. Благодарю.
private static int findMaxIndexDifferenceOptimal(int[] a) {
int n = a.length;
// array containing minimums
int A[] = new int[n];
A[0] = a[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
A[i] = Math.min(a[i], A[i - 1]);
}
// array containing maximums
int B[] = new int[n];
B[n - 1] = a[n - 1];
for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
B[j] = Math.max(a[j], B[j + 1]);
}
int i = 0, maxDiff = -1;
int j = 0;
while (i < n && j < n) {
if (B[j] > A[i]) {
maxDiff = Math.max(j - i, maxDiff);
j++;
} else {
i++;
}
}
return maxDiff;
}
Метод 1 (простой, но неэффективный)
Запустите две петли. Во внешнем цикле выбирайте элементы по одному слева. Во внутреннем цикле сравните выбранный элемент с элементами, начиная с правой стороны. Остановите внутренний цикл, когда вы увидите элемент, который больше, чем выбранный элемент, и продолжайте обновлять максимальный j-i до сих пор.
#include <stdio.h>
/* For a given array arr[], returns the maximum j – i such that
arr[j] > arr[i] */
int maxIndexDiff(int arr[], int n)
{
int maxDiff = -1;
int i, j;
for (i = 0; i < n; ++i)
{
for (j = n-1; j > i; --j)
{
if(arr[j] > arr[i] && maxDiff < (j - i))
maxDiff = j - i;
}
}
return maxDiff;
}
int main()
{
int arr[] = {9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 0};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int maxDiff = maxIndexDiff(arr, n);
printf("\n %d", maxDiff);
getchar();
return 0;
}
Сложность времени: O (n ^ 2)
Метод 2 (эффективный)
Чтобы решить эту проблему, нам нужно получить два оптимальных индекса arr []: левый индекс я и правый индекс j. Для элемента arr [i] нам не нужно рассматривать arr [i] для левого индекса, если в левой части arr [i] есть элемент, меньший, чем arr [i].
Аналогично, если в правой части arr [j] имеется больший элемент, то нам не нужно рассматривать этот j для индекса справа. Итак, мы построим два вспомогательных массива LMin [] и RMax [] такие, что LMin [i] содержит наименьший элемент в левой части arr [i], включая arr [i], а RMax [j] содержит наибольший элемент в правой части arr [j], включая arr [j].
После построения этих двух вспомогательных массивов мы перемещаем обе эти массивы слева направо. Если мы пересекаем LMin [] и RMa [], если мы видим, что LMin [i] больше RMax [j], то мы должны двигаться вперед в LMin [] (или do я ++), потому что все элементы слева от LMin [i] больше или равно LMin [i]. В противном случае мы должны двигаться вперед в RMax [j], чтобы искать большее значение j-i.
#include <stdio.h>
/* Utility Functions to get max and minimum of two integers */
int max(int x, int y)
{
return x > y? x : y;
}
int min(int x, int y)
{
return x < y? x : y;
}
/* For a given array arr[], returns the maximum j – i such that
arr[j] > arr[i] */
int maxIndexDiff(int arr[], int n)
{
int maxDiff;
int i, j;
int *LMin = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
int *RMax = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
/* Construct LMin[] such that LMin[i] stores the minimum value
from (arr[0], arr[1], ... arr[i]) */
LMin[0] = arr[0];
for (i = 1; i < n; ++i)
LMin[i] = min(arr[i], LMin[i-1]);
/* Construct RMax[] such that RMax[j] stores the maximum value
from (arr[j], arr[j+1], ..arr[n-1]) */
RMax[n-1] = arr[n-1];
for (j = n-2; j >= 0; --j)
RMax[j] = max(arr[j], RMax[j+1]);
/* Traverse both arrays from left to right to find optimum j - i
This process is similar to merge() of MergeSort */
i = 0, j = 0, maxDiff = -1;
while (j < n && i < n)
{
if (LMin[i] < RMax[j])
{
maxDiff = max(maxDiff, j-i);
j = j + 1;
}
else
i = i+1;
}
return maxDiff;
}
/* Driver program to test above functions */
int main()
{
int arr[] = {9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 0};
int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
int maxDiff = maxIndexDiff(arr, n);
printf("\n %d", maxDiff);
getchar();
return 0;
}
Сложность времени: O (n)
Вспомогательное пространство: O (n)
Источник geeksforgeeks