Проецирование 3D-точек на двумерную плоскость

Ответ 1

Если у вас есть целевая точка P с координатами r_P = (x,y,z) и плоскостью с нормальным n=(nx,ny,nz), вам нужно определить начало координат на плоскости, а также два ортогональных направления для x и y. Например, если ваше происхождение находится в r_O = (ox, oy, oz), а ваши две координатные оси в плоскости определяются e_1 = (ex_1,ey_1,ez_1), e_2 = (ex_2,ey_2,ez_2), тогда ортогональность имеет Dot(n,e_1)=0, Dot(n,e_2)=0, Dot(e_1,e_2)=0 (векторный точечный продукт). Обратите внимание, что все векторы направления должны быть нормированы (величина должна быть одной).

Ваша целевая точка P должна подчиняться уравнению:

r_P = r_O + t_1*e_1 + t_2*e_2 + s*n

где t_1 и t_2 - ваши 2D-координаты вдоль e_1 и e_2 и s нормальное разделение (расстояние) между плоскостью и точкой.

Там скаляры найдены проекциями:

s = Dot(n, r_P-r_O)
t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O)    
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O)

Пример с началом плоскости r_O = (-1,3,1) и нормальным:

n = r_O/|r_O| = (-1/√11, 3/√11, 1/√11)

Вам нужно выбрать ортогональные направления для 2D-координат, например:

e_1 = (1/√2, 0 ,1/√2)
e_2 = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)

такое, что Dot(n,e_1) = 0 и Dot(n,e_2) = 0 и Dot(e_1, e_2) = 0.

Двумерные координаты точки P r_P=(1,7,-3):

t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O) = ( 1/√2,0,1/√2)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) =  -√2
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O) = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) = -26/√22

и вне плоскости:

s = Dot(n, r_P-r_O) = 6/√11

Ответ 2

Найти проекцию A в нормальное направление. Затем вычтите эту проекцию из A. Остается проекция A на ортогональную плоскость.

Проекция A на единичное нормальное направление n определяется следующим образом:

(A · n) n

Если A = (x, y, z) и единичная нормаль дается выражением n = (nx, ny, nz), то проекция A на n равна

(x*nx + y*ny + z*nz) n

Таким образом, проекция A на ортогональную плоскость равна

A - (A · n) n
= (x, y, z) - (x*nx + y*ny + z*nz) (nx, ny, nz)

Например, если A = (1,2,3) и n - единичная нормаль в направлении (4,5,6), то

In [12]: A
Out[12]: array([1, 2, 3])
In [17]: d
Out[17]: array([4, 5, 6])

In [20]: n = d/sqrt(4*4 + 5*5 + 6*6)   # make n a unit vector
In [13]: n
Out[13]: array([ 0.45584231,  0.56980288,  0.68376346])

Таким образом, проекция A на ортогональную плоскость равна

In [15]: A - np.dot(A,n)*n
Out[15]: array([-0.66233766, -0.07792208,  0.50649351])

Как найти 2D-координаты:

Вам нужно определить двумерную систему координат на ортогональной плоскости. Другими словами, вам нужно определить, где находятся x-axis и y-axis. Например, вы можете определить x-axis как проекцию (1,0,0) на ортогональную плоскость (используя приведенные выше вычисления). Это будет работать, кроме как в вырожденном случае, когда (1,0,0) нормаль к плоскости.

Как только у вас есть единичные векторы для направлений оси x и y, вы можете проектировать A непосредственно на x и y. Величина этих векторов является двумерными координатами.

Например, это проекция (1,0,0) на плоскость. Возьмем это направление оси х:

In [42]: x = np.array([1,0,0])    
In [45]: x = x - np.dot(x, n) * n
In [52]: x /= sqrt((x**2).sum())   # make x a unit vector    
In [53]: x
Out[53]: array([ 0.89006056, -0.29182313, -0.35018776])

Здесь мы вычисляем направление оси y: направление y-axis должно быть перпендикулярно как нормальному направлению n, так и x. Таким образом, мы могли бы определить y как cross product n и x:

In [68]: y = np.cross(n, x)

In [69]: y
Out[69]: array([ -2.77555756e-17,   7.68221280e-01,  -6.40184400e-01])

Итак, вот координаты для A в плоскости:

In [70]: np.dot(A, x), np.dot(A, y)
Out[70]: (-0.74414898890755965, -0.38411063979868798)