Это вопрос интервью: задан массив целых чисел, набирающий макс. и мин. используя минимальные сравнения.
Очевидно, что я могу дважды перебрать массив и использовать сравнения ~2n в худшем случае, но я хотел бы сделать лучше.
Как найти макс. и мин. в массиве с использованием минимальных сравнений?
Ответ 1
1. Pick 2 elements(a, b), compare them. (say a > b)
2. Update min by comparing (min, b)
3. Update max by comparing (max, a)
Таким образом, вы бы выполнили 3 сравнения для 2 элементов, составляя 3N/2 общее сравнение для N элементов.
Ответ 2
Попытка улучшить ответ srbh.kmr. Скажем, у нас есть последовательность:
A = [a1, a2, a3, a4, a5]
Сравните a1 и a2 и вычислите min12, max12:
if (a1 > a2)
min12 = a2
max12 = a1
else
min12 = a1
max12 = a2
Аналогично вычисляем min34, max34. Поскольку a5 один, сохраните его как есть...
Теперь сравните min12 и min34 и вычислите min14, аналогично вычислите max14. Наконец сравните min14 и a5, чтобы вычислить min15. Аналогично вычисляем max15.
В целом это всего 6 сравнений!
Это решение может быть расширено до массива произвольной длины. Вероятно, может быть реализован подобный подход к merge-sort (разбить массив пополам и вычислить min max для каждой половины).
UPDATE: Здесь рекурсивный код в C:
#include <stdio.h>
void minmax (int* a, int i, int j, int* min, int* max) {
int lmin, lmax, rmin, rmax, mid;
if (i == j) {
*min = a[i];
*max = a[j];
} else if (j == i + 1) {
if (a[i] > a[j]) {
*min = a[j];
*max = a[i];
} else {
*min = a[i];
*max = a[j];
}
} else {
mid = (i + j) / 2;
minmax(a, i, mid, &lmin, &lmax);
minmax(a, mid + 1, j, &rmin, &rmax);
*min = (lmin > rmin) ? rmin : lmin;
*max = (lmax > rmax) ? lmax : rmax;
}
}
void main () {
int a [] = {3, 4, 2, 6, 8, 1, 9, 12, 15, 11};
int min, max;
minmax (a, 0, 9, &min, &max);
printf ("Min : %d, Max: %d\n", min, max);
}
Теперь я не могу определить точное количество сравнений в терминах N (количество элементов в массиве). Но трудно понять, как можно обойтись ниже этих многочисленных сравнений.
UPDATE: Мы можем определить количество сравнений, как показано ниже:
В нижней части этого дерева вычислений мы формируем пары целых чисел из исходного массива. Итак, у нас есть N / 2 листовые узлы. Для каждого из этих листовых узлов мы выполняем ровно 1 сравнение.
Обращаясь к свойствам идеального двоичного дерева, мы имеем:
leaf nodes (L) = N / 2 // known
total nodes (n) = 2L - 1 = N - 1
internal nodes = n - L = N / 2 - 1
Для каждого внутреннего node мы делаем 2 сравнения. Поэтому мы имеем N - 2 сравнения. Наряду с сравнениями N / 2 в листовых узлах мы имеем (3N / 2) - 2 полные сравнения.
Итак, может быть, это решение srbh.kmr подразумевается в его ответе.
Ответ 3
пойти на разделяй и властвуй!
1,3,2,5
для этого нахождения мин, макс займет 6 сравнений
но разделить их
1,3 ---> will give min 1 and max 3 in one comparison
2,5 ---> will give min 2 and max 5 in one comparison
Теперь мы можем сравнить две минуты и максимумы
min(1,2) --> will give the final min as 1 (one comparison)
max(3,5) ---> will give the final max as 5 (one comparison)
итого четыре сравнения, чтобы найти как мин, так и макс.
Ответ 4
Несколько иной подход, который использует целочисленную арифметику вместо сравнения (которая явно не запрещена)
for(int i=0;i<N;i++) {
xmin += x[i]-xmin & x[i]-xmin>>31;
xmax += x[i]-xmax & xmax-x[i]>>31;
}
Ответ 5
Грубая сила - FASTER!
Я хотел бы, чтобы кто-то показал мне ошибку моих путей, здесь, но...
Я сравнивал фактическое время выполнения метода грубой силы против (более красивого) рекурсивного разрыва и покорения. Типичные результаты (в 10 000 000 вызовов каждой функции):
Brute force :
0.657 seconds 10 values => 16 comparisons. Min @ 8, Max @ 10
0.604 seconds 1000000 values => 1999985 comparisons. Min @ 983277, Max @ 794659
Recursive :
1.879 seconds 10 values => 13 comparisons. Min @ 8, Max @ 10
2.041 seconds 1000000 values => 1499998 comparisons. Min @ 983277, Max @ 794659
Удивительно, что метод грубой силы был примерно в 2,9 раза быстрее для массива из 10 элементов и в 3,4 раза быстрее для массива из 1 000 000 элементов.
Очевидно, что количество сравнений не является проблемой, но, возможно, количеством повторных назначений и накладными расходами на вызов рекурсивной функции (что может объяснить, почему 1 000 000 значений работают медленнее 10 значений).
Предостережения: Я делал это в VBA, а не C, и я сравнивал числа с двойной точностью и возвращал индекс в массив значений Min и Max.
Вот код, который я использовал (класс cPerformanceCounter здесь не включен, но использует QueryPerformanceCounter для синхронизации с высоким разрешением):
Option Explicit
'2014.07.02
Private m_l_NumberOfComparisons As Long
Sub Time_MinMax()
Const LBOUND_VALUES As Long = 1
Dim l_pcOverall As cPerformanceCounter
Dim l_d_Values() As Double
Dim i As Long, _
k As Long, _
l_l_UBoundValues As Long, _
l_l_NumberOfIterations As Long, _
l_l_IndexOfMin As Long, _
l_l_IndexOfMax As Long
Set l_pcOverall = New cPerformanceCounter
For k = 1 To 2
l_l_UBoundValues = IIf(k = 1, 10, 1000000)
ReDim l_d_Values(LBOUND_VALUES To l_l_UBoundValues)
'Assign random values
Randomize '1 '1 => the same random values to be used each time
For i = LBOUND_VALUES To l_l_UBoundValues
l_d_Values(i) = Rnd
Next i
For i = LBOUND_VALUES To l_l_UBoundValues
l_d_Values(i) = Rnd
Next i
'This keeps the total run time in the one-second neighborhood
l_l_NumberOfIterations = 10000000 / l_l_UBoundValues
'——————— Time Brute Force Method —————————————————————————————————————————
l_pcOverall.RestartTimer
For i = 1 To l_l_NumberOfIterations
m_l_NumberOfComparisons = 0
IndexOfMinAndMaxDoubleBruteForce _
l_d_Values, _
LBOUND_VALUES, _
l_l_UBoundValues, _
l_l_IndexOfMin, _
l_l_IndexOfMax
Next
l_pcOverall.ElapsedSecondsDebugPrint _
3.3, , _
" seconds Brute-Force " & l_l_UBoundValues & " values => " _
& m_l_NumberOfComparisons & " comparisons. " _
& " Min @ " & l_l_IndexOfMin _
& ", Max @ " & l_l_IndexOfMax, _
True
'——————— End Time Brute Force Method —————————————————————————————————————
'——————— Time Brute Force Using Individual Calls —————————————————————————
l_pcOverall.RestartTimer
For i = 1 To l_l_NumberOfIterations
m_l_NumberOfComparisons = 0
l_l_IndexOfMin = IndexOfMinDouble(l_d_Values)
l_l_IndexOfMax = IndexOfMaxDouble(l_d_Values)
Next
l_pcOverall.ElapsedSecondsDebugPrint _
3.3, , _
" seconds Individual " & l_l_UBoundValues & " values => " _
& m_l_NumberOfComparisons & " comparisons. " _
& " Min @ " & l_l_IndexOfMin _
& ", Max @ " & l_l_IndexOfMax, _
True
'——————— End Time Brute Force Using Individual Calls —————————————————————
'——————— Time Recursive Divide and Conquer Method ————————————————————————
l_pcOverall.RestartTimer
For i = 1 To l_l_NumberOfIterations
m_l_NumberOfComparisons = 0
IndexOfMinAndMaxDoubleRecursiveDivideAndConquer _
l_d_Values, _
LBOUND_VALUES, _
l_l_UBoundValues, _
l_l_IndexOfMin, l_l_IndexOfMax
Next
l_pcOverall.ElapsedSecondsDebugPrint _
3.3, , _
" seconds Recursive " & l_l_UBoundValues & " values => " _
& m_l_NumberOfComparisons & " comparisons. " _
& " Min @ " & l_l_IndexOfMin _
& ", Max @ " & l_l_IndexOfMax, _
True
'——————— End Time Recursive Divide and Conquer Method ————————————————————
Next k
End Sub
'Recursive divide and conquer
Sub IndexOfMinAndMaxDoubleRecursiveDivideAndConquer( _
i_dArray() As Double, _
i_l_LBound As Long, _
i_l_UBound As Long, _
o_l_IndexOfMin As Long, _
o_l_IndexOfMax As Long)
Dim l_l_IndexOfLeftMin As Long, _
l_l_IndexOfLeftMax As Long, _
l_l_IndexOfRightMin As Long, _
l_l_IndexOfRightMax As Long, _
l_l_IndexOfMidPoint As Long
If (i_l_LBound = i_l_UBound) Then 'Only one element
o_l_IndexOfMin = i_l_LBound
o_l_IndexOfMax = i_l_LBound
ElseIf (i_l_UBound = (i_l_LBound + 1)) Then 'Only two elements
If (i_dArray(i_l_LBound) > i_dArray(i_l_UBound)) Then
o_l_IndexOfMin = i_l_UBound
o_l_IndexOfMax = i_l_LBound
Else
o_l_IndexOfMin = i_l_LBound
o_l_IndexOfMax = i_l_UBound
End If
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons + 1
Else 'More than two elements => recurse
l_l_IndexOfMidPoint = (i_l_LBound + i_l_UBound) / 2
'Find the min of the elements in the left half
IndexOfMinAndMaxDoubleRecursiveDivideAndConquer _
i_dArray, _
i_l_LBound, _
l_l_IndexOfMidPoint, _
l_l_IndexOfLeftMin, _
l_l_IndexOfLeftMax
'Find the min of the elements in the right half
IndexOfMinAndMaxDoubleRecursiveDivideAndConquer i_dArray, _
l_l_IndexOfMidPoint + 1, _
i_l_UBound, _
l_l_IndexOfRightMin, _
l_l_IndexOfRightMax
'Return the index of the lower of the two values returned
If (i_dArray(l_l_IndexOfLeftMin) > i_dArray(l_l_IndexOfRightMin)) Then
o_l_IndexOfMin = l_l_IndexOfRightMin
Else
o_l_IndexOfMin = l_l_IndexOfLeftMin
End If
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons + 1
'Return the index of the lower of the two values returned
If (i_dArray(l_l_IndexOfLeftMax) > i_dArray(l_l_IndexOfRightMax)) Then
o_l_IndexOfMax = l_l_IndexOfLeftMax
Else
o_l_IndexOfMax = l_l_IndexOfRightMax
End If
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons + 1
End If
End Sub
Sub IndexOfMinAndMaxDoubleBruteForce( _
i_dArray() As Double, _
i_l_LBound As Long, _
i_l_UBound As Long, _
o_l_IndexOfMin As Long, _
o_l_IndexOfMax As Long)
Dim i As Long
o_l_IndexOfMin = i_l_LBound
o_l_IndexOfMax = o_l_IndexOfMin
For i = i_l_LBound + 1 To i_l_UBound
'Usually we will do two comparisons
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons + 2
If (i_dArray(i) < i_dArray(o_l_IndexOfMin)) Then
o_l_IndexOfMin = i
'We don't need to do the ElseIf comparison
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons - 1
ElseIf (i_dArray(i) > i_dArray(o_l_IndexOfMax)) Then
o_l_IndexOfMax = i
End If
Next i
End Sub
Function IndexOfMinDouble( _
i_dArray() As Double _
) As Long
Dim i As Long
On Error GoTo EWE
IndexOfMinDouble = LBound(i_dArray)
For i = IndexOfMinDouble + 1 To UBound(i_dArray)
If (i_dArray(i) < i_dArray(IndexOfMinDouble)) Then
IndexOfMinDouble = i
End If
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons + 1
Next i
On Error GoTo 0
Exit Function
EWE:
On Error GoTo 0
IndexOfMinDouble = MIN_LONG
End Function
Function IndexOfMaxDouble( _
i_dArray() As Double _
) As Long
Dim i As Long
On Error GoTo EWE
IndexOfMaxDouble = LBound(i_dArray)
For i = IndexOfMaxDouble + 1 To UBound(i_dArray)
If (i_dArray(i) > i_dArray(IndexOfMaxDouble)) Then
IndexOfMaxDouble = i
End If
m_l_NumberOfComparisons = m_l_NumberOfComparisons + 1
Next i
On Error GoTo 0
Exit Function
EWE:
On Error GoTo 0
IndexOfMaxDouble = MIN_LONG
End Function
Ответ 6
После прочтения вопроса и ответов я решил попробовать несколько версий (на С#).
Я думал, что самым быстрым будет Антон Князев, один (филиал бесплатный),
это не (на моей коробке).
Результаты:
/* comp. time(ns)
minmax0 3n/2 855
minmax1 2n 805
minmax2 2n 1315
minmax3 2n 685 */
Почему minmax1 и minmax3 быстрее?
Наверное, потому что "отраслевой предиктор" делает хорошую работу,
на каждой итерации появляется шанс, новый минимум (или макс), уменьшается,
поэтому прогнозы становятся лучше.
В целом это простой тест. Я понимаю, что мои выводы могут быть:
-premature.
- не подходит для разных платформ.
Скажем, они показательны.
Изменить: точка безубыточности minmax0, minmax3: ~ 100 единиц,
10 000 наименований: minmax3 ~ 3,5 раза быстрее, чем minmax0.
using System;
using sw = System.Diagnostics.Stopwatch;
class Program
{
static void Main()
{
int n = 1000;
int[] a = buildA(n);
sw sw = new sw();
sw.Start();
for (int i = 1000000; i > 0; i--) minMax3(a);
sw.Stop();
Console.Write(sw.ElapsedMilliseconds);
Console.Read();
}
static int[] minMax0(int[] a) // ~3j/2 comp.
{
int j = a.Length - 1;
if (j < 2) return j < 0 ? null :
j < 1 ? new int[] { a[0], a[0] } :
a[0] < a[1] ? new int[] { a[0], a[1] } :
new int[] { a[1], a[0] };
int a0 = a[0], a1 = a[1], ai = a0;
if (a1 < a0) { a0 = a1; a1 = ai; }
int i = 2;
for (int aj; i < j; i += 2)
{
if ((ai = a[i]) < (aj = a[i + 1])) // hard to predict
{ if (ai < a0) a0 = ai; if (aj > a1) a1 = aj; }
else
{ if (aj < a0) a0 = aj; if (ai > a1) a1 = ai; }
}
if (i <= j)
{ if ((ai = a[i]) < a0) a0 = ai; else if (ai > a1) a1 = ai; }
return new int[] { a0, a1 };
}
static int[] minMax1(int[] a) // ~2j comp.
{
int j = a.Length;
if (j < 3) return j < 1 ? null :
j < 2 ? new int[] { a[0], a[0] } :
a[0] < a[1] ? new int[] { a[0], a[1] } :
new int[] { a[1], a[0] };
int a0 = a[0], a1 = a0, ai = a0;
for (int i = 1; i < j; i++)
{
if ((ai = a[i]) < a0) a0 = ai;
else if (ai > a1) a1 = ai;
}
return new int[] { a0, a1 };
}
static int[] minMax2(int[] a) // ~2j comp.
{
int j = a.Length;
if (j < 2) return j == 0 ? null : new int[] { a[0], a[0] };
int a0 = a[0], a1 = a0;
for (int i = 1, ai = a[1], aj = ai; ; aj = ai = a[i])
{
ai -= a0; a0 += ai & ai >> 31;
aj -= a1; a1 += aj & -aj >> 31;
i++; if (i >= j) break;
}
return new int[] { a0, a1 };
}
static int[] minMax3(int[] a) // ~2j comp.
{
int j = a.Length - 1;
if (j < 2) return j < 0 ? null :
j < 1 ? new int[] { a[0], a[0] } :
a[0] < a[1] ? new int[] { a[0], a[1] } :
new int[] { a[1], a[0] };
int a0 = a[0], a1 = a[1], ai = a0;
if (a1 < a0) { a0 = a1; a1 = ai; }
int i = 2;
for (j -= 2; i < j; i += 3)
{
ai = a[i + 0]; if (ai < a0) a0 = ai; if (ai > a1) a1 = ai;
ai = a[i + 1]; if (ai < a0) a0 = ai; if (ai > a1) a1 = ai;
ai = a[i + 2]; if (ai < a0) a0 = ai; if (ai > a1) a1 = ai;
}
for (j += 2; i <= j; i++)
{ if ((ai = a[i]) < a0) a0 = ai; else if (ai > a1) a1 = ai; }
return new int[] { a0, a1 };
}
static int[] buildA(int n)
{
int[] a = new int[n--]; Random rand = new Random(0);
for (int j = n; n >= 0; n--) a[n] = rand.Next(-1 * j, 1 * j);
return a;
}
}
Ответ 7
Простой псевдокод для рекурсивного алгоритма:
Function MAXMIN (A, low, high)
if (high − low + 1 = 2) then
if (A[low] < A[high]) then
max = A[high]; min = A[low].
return((max, min)).
else
max = A[low]; min = A[high].
return((max, min)).
end if
else
mid = low+high/2
(max_l , min_l ) = MAXMIN(A, low, mid).
(max_r , min_r ) =MAXMIN(A, mid + 1, high).
end if
Set max to the larger of max_l and max_r ;
likewise, set min to the smaller of min_l and min_r .
return((max, min)).
Ответ 8
import java.util.*;
class Maxmin
{
public static void main(String args[])
{
int[] arr = new int[10];
Scanner in = new Scanner(System.in);
int i, min=0, max=0;
for(i=0; i<=9; i++)
{
System.out.print("Enter any number: ");
arr[i] = in.nextInt();
}
min = arr[0];
for(i=0; i<=9; i++)
{
if(arr[i] > max)
{
max = arr[i];
}
if(arr[i] < min)
{
min = arr[i];
}
}
System.out.println("Maximum is: " + max);
System.out.println("Minimum is: " + min);
}
}
Ответ 9
Мой подход к разделению и завоеванию с помощью java:
public class code {
static int[] A = {444,9,8,6,199,3,0,5,3,200};
static int min = A[0], max = A[1];
static int count = 0;
public void minMax(int[] A, int i, int j) {
if(i==j) {
count = count + 2;
min = Math.min(min, A[i]);
max = Math.max(max, A[i]);
}
else if(j == i+1) {
if(A[i] > A[j]) {
count = count + 3;
min = Math.min(min, A[j]);
max = Math.max(max, A[i]);
}
else {
count = count + 3;
min = Math.min(min, A[i]);
max = Math.max(max, A[j]);
}
}
else {
minMax(A,i,(i+j)/2);
minMax(A,(i+j)/2+1,j);
}
}
public static void main(String[] args) {
code c = new code();
if(Math.min(A[0], A[1]) == A[0]) {
count++;
min = A[0];
max = A[1];
}
else {
count++;
min = A[1];
max = A[0];
}
c.minMax(A,2,A.length-1);
System.out.println("Min: "+min+" Max: "+max);
System.out.println("Total comparisons: " + count);
}
}
Ответ 10
public static int[] minMax(int[] array){
int [] empty = {-1,-1};
if(array==null || array.length==0){
return empty;
}
int lo =0, hi = array.length-1;
return minMax(array,lo, hi);
}
private static int[] minMax(int []array, int lo, int hi){
if(lo==hi){
int [] result = {array[lo], array[hi]};
return result;
}else if(lo+1==hi){
int [] result = new int[2];
result[0] = Math.min(array[lo], array[hi]);
result[1] = Math.max(array[lo], array[hi]);
return result;
}else{
int mid = lo+(hi-lo)/2;
int [] left = minMax(array, lo, mid);
int [] right = minMax(array, mid+1, hi);
int []result = new int[2];
result[0] = Math.min(left[0], right[0]);
result[1] = Math.max(left[1], right[1]);
return result;
}
}
public static void main(String[] args) {
int []array = {1,2,3,4,100};
System.out.println("min and max values are "+Arrays.toString(minMax(array)));
}
Ответ 11
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
set<int> t;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x;
cin>>x;
t.insert(x);
}
set<int>::iterator s,b;
s=t.begin();
b=--t.end();
cout<< *s<<" "<<*b<<endl;
enter code here
return 0;
}
//это можно сделать в сложности log (n)!!!
Ответ 12
Просто обведите массив по массиву один раз, соблюдая максимальный и минимальный значения.