У меня есть проблема с набором непрерывных функций распределения вероятностей, большинство из которых определяются эмпирически (например, время вылета, время прохода). Мне нужен какой-то способ взять два из этих PDF файлов и сделать арифметику на них. Например. если у меня есть два значения x, взятые из PDF X, и y, взятые из PDF Y, мне нужно получить PDF для (x + y) или любой другой операции f (x, y).
Аналитическое решение невозможно, поэтому я ищу некоторое представление PDF файлов, которые позволяют такие вещи. Очевидным (но вычислительно дорогостоящим) решением является monte-carlo: генерировать множество значений x и y, а затем просто измерять f (x, y). Но это занимает слишком много времени процессора.
Я думал о представлении PDF как списка диапазонов, где каждый диапазон имеет примерно равную вероятность, эффективно представляя PDF как объединение списка равномерных распределений. Но я не могу понять, как их объединить.
Есть ли у кого-нибудь хорошие решения этой проблемы?
Изменить: Цель состоит в том, чтобы создать мини-язык (также известный как доменный язык) для управления PDF файлами. Но сначала мне нужно разобраться в базовом представлении и алгоритмах.
Изменить 2: dmckee предлагает реализацию гистограммы. Это то, что я получал с моим списком единообразных распределений. Но я не вижу, как их объединить для создания новых дистрибутивов. В конечном итоге мне нужно найти такие вещи, как P (x < y), в тех случаях, когда это может быть довольно небольшим.
Изменить 3: У меня есть куча гистограмм. Они распределены неравномерно, потому что я генерирую их из данных о событиях, поэтому в основном, если у меня есть 100 выборок, и я хочу десять точек на гистограмме, тогда я выделяю 10 образцов для каждого бара и делаю ширину баров переменной, но постоянную.
Я понял, что для добавления PDF файлов вы их свертываете, и я придумал математику для этого. Когда вы свертываете два равномерных распределения, вы получаете новый дистрибутив с тремя разделами: более широкое равномерное распределение все еще существует, но с треугольником, застрявшим с каждой стороны ширину более узкого. Поэтому, если я сверлю каждый элемент X и Y, я получу кучу всех, все перекрывающиеся. Теперь я пытаюсь понять, как их суммировать, а затем получить гистограмму, которая наилучшим образом приближается к ней.
Я начинаю задаваться вопросом, не было ли вообще Монте-Карло такой плохой идеей.
Однако результат значительно сложнее входных данных, а также включает треугольники. Изменить 5: [Неверный материал удален]. Но если эти трапеции приближаются к прямоугольникам с одной и той же областью, тогда вы получите правильный ответ, и уменьшение количества прямоугольников в результате выглядит довольно просто. Это может быть решение, которое я пытался найти.
Изменить 6: Решено! Вот окончательный код Haskell для этой проблемы:
-- | Continuous distributions of scalars are represented as a
-- | histogram where each bar has approximately constant area but
-- | variable width and height. A histogram with N bars is stored as
-- | a list of N+1 values.
data Continuous = C {
cN :: Int,
-- ^ Number of bars in the histogram.
cAreas :: [Double],
-- ^ Areas of the bars. @length cAreas == [email protected]
cBars :: [Double]
-- ^ Boundaries of the bars. @length cBars == cN + [email protected]
} deriving (Show, Read)
{- | Add distributions. If two random variables @[email protected] and @[email protected] are
taken from distributions @[email protected] and @[email protected] respectively then the
distribution of @(vX + vY)@ will be @(x .+. y).
This is implemented as the convolution of distributions x and y.
Each is a histogram, which is to say the sum of a collection of
uniform distributions (the "bars"). Therefore the convolution can be
computed as the sum of the convolutions of the cross product of the
components of x and y.
When you convolve two uniform distributions of unequal size you get a
trapezoidal distribution. Let p = p2-p1, q - q2-q1. Then we get:
> | |
> | ______ |
> | | | with | _____________
> | | | | | |
> +-----+----+------- +--+-----------+-
> p1 p2 q1 q2
>
> gives h|....... _______________
> | /: :\
> | / : : \ 1
> | / : : \ where h = -
> | / : : \ q
> | / : : \
> +--+-----+-------------+-----+-----
> p1+q1 p2+q1 p1+q2 p2+q2
However we cannot keep the trapezoid in the final result because our
representation is restricted to uniform distributions. So instead we
store a uniform approximation to the trapezoid with the same area:
> h|......___________________
> | | / \ |
> | |/ \|
> | | |
> | /| |\
> | / | | \
> +-----+-------------------+--------
> p1+q1+p/2 p2+q2-p/2
-}
(.+.) :: Continuous -> Continuous -> Continuous
c .+. d = C {cN = length bars - 1,
cBars = map fst bars,
cAreas = zipWith barArea bars (tail bars)}
where
-- The convolve function returns a list of two (x, deltaY) pairs.
-- These can be sorted by x and then sequentially summed to get
-- the new histogram. The "b" parameter is the product of the
-- height of the input bars, which was omitted from the diagrams
-- above.
convolve b c1 c2 d1 d2 =
if (c2-c1) < (d2-d1) then convolve1 b c1 c2 d1 d2 else convolve1 b d1
d2 c1 c2
convolve1 b p1 p2 q1 q2 =
[(p1+q1+halfP, h), (p2+q2-halfP, (-h))]
where
halfP = (p2-p1)/2
h = b / (q2-q1)
outline = map sumGroup $ groupBy ((==) `on` fst) $ sortBy (comparing fst)
$ concat
[convolve (areaC*areaD) c1 c2 d1 d2 |
(c1, c2, areaC) <- zip3 (cBars c) (tail $ cBars c) (cAreas c),
(d1, d2, areaD) <- zip3 (cBars d) (tail $ cBars d) (cAreas d)
]
sumGroup pairs = (fst $ head pairs, sum $ map snd pairs)
bars = tail $ scanl (\(_,y) (x2,dy) -> (x2, y+dy)) (0, 0) outline
barArea (x1, h) (x2, _) = (x2 - x1) * h
Другие операторы остаются в качестве упражнения для читателя.
