Учитывая набор чисел: {1, 3, 2, 5, 4, 9}, найдите число подмножеств, которые суммируются с определенным значением (например, 9 для этого примера).
Это похоже на проблему суммы подмножеств с небольшой разницей, что вместо того, чтобы проверять, имеет ли множество подмножество, суммируемое до 9, мы должны найти число таких подмножеств. Я следую решению для проблемы суммы подмножества здесь. Но мне интересно, как я могу изменить его, чтобы вернуть подсчет подмножеств.
def total_subsets_matching_sum(numbers, sum):
array = [1] + [0] * (sum)
for current_number in numbers:
for num in xrange(sum - current_number, -1, -1):
if array[num]:
array[num + current_number] += array[num]
return array[sum]
assert(total_subsets_matching_sum(range(1, 10), 9) == 8)
assert(total_subsets_matching_sum({1, 3, 2, 5, 4, 9}, 9) == 4)
Объяснение
Это одна из классических проблем. Идея состоит в том, чтобы найти количество возможных сумм с текущим числом. И это правда, что есть только один способ принести сумму в 0. В начале у нас есть только одно число. Мы начинаем с нашей цели (переменная Maximum в решении) и вычитаем это число. Если можно получить сумму этого числа (элемент массива, соответствующий этому номеру, не равен нулю), добавьте его в элемент массива, соответствующий текущему числу. Программе было бы легче понять этот путь.
for current_number in numbers:
for num in xrange(sum, current_number - 1, -1):
if array[num - current_number]:
array[num] += array[num - current_number]
Когда число равно 1, есть только один способ, с помощью которого вы можете получить сумму 1 (1-1 становится 0, а элемент, соответствующий 0, равен 1). Таким образом, массив будет таким (помните, что элемент zero будет иметь 1)
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Теперь второе число равно 2. Мы начинаем вычитать 2 из 9 и его недействительным (поскольку элемент массива из 7 равен нулю, мы пропустим это), мы продолжаем делать это до 3. Когда его 3, 3 - 2 равно 1 и элемент массива, соответствующий 1, равен 1, и мы добавляем его к элементу массива из 3. и когда его 2, 2 - 2 становится 0, а значение соответствует 0 элементу массива из 2. После этой итерации массив выглядит следующим образом:
[1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Мы продолжаем делать это до тех пор, пока мы не обработаем все числа и массив после каждой итерации.
[1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 0]
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1]
[1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3]
[1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]
[1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6]
[1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
[1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
После последней итерации мы рассмотрели бы все числа, и количество способов получить цель было бы элементом массива, соответствующим целевому значению. В нашем случае Array [9] после последней итерации 8.
Вы можете использовать динамическое программирование. Также сложность составляет O (Sum * N) и использует O (Sum) памяти.
Вот моя реализация в С#:
private static int GetmNumberOfSubsets(int[] numbers, int sum)
{
int[] dp = new int[sum + 1];
dp[0] = 1;
int currentSum =0;
for (int i = 0; i < numbers.Length; i++)
{
currentSum += numbers[i];
for (int j = Math.Min(sum, currentSum); j >= numbers[i]; j--)
dp[j] += dp[j - numbers[i]];
}
return dp[sum];
}
Примечания: поскольку число подмножеств может иметь значение 2 ^ N, это может легко переполнить тип int.
Альго работает только для положительных чисел.
Вот Java Solution:
Это классическая проблема отслеживания Back для нахождения всех возможных подмножеств целочисленного массива или набора, который является входом, и затем filtering тех, которые суммируют с заданной target
import java.util.HashSet;
import java.util.StringTokenizer;
/**
* Created by anirudh on 12/5/15.
*/
public class findSubsetsThatSumToATarget {
/**
* The collection for storing the unique sets that sum to a target.
*/
private static HashSet<String> allSubsets = new HashSet<>();
/**
* The String token
*/
private static final String token = " ";
/**
* The method for finding the subsets that sum to a target.
*
* @param input The input array to be processed for subset with particular sum
* @param target The target sum we are looking for
* @param ramp The Temporary String to be beefed up during recursive iterations(By default value an empty String)
* @param index The index used to traverse the array during recursive calls
*/
public static void findTargetSumSubsets(int[] input, int target, String ramp, int index) {
if(index > (input.length - 1)) {
if(getSum(ramp) == target) {
allSubsets.add(ramp);
}
return;
}
//First recursive call going ahead selecting the int at the currenct index value
findTargetSumSubsets(input, target, ramp + input[index] + token, index + 1);
//Second recursive call going ahead WITHOUT selecting the int at the currenct index value
findTargetSumSubsets(input, target, ramp, index + 1);
}
/**
* A helper Method for calculating the sum from a string of integers
*
* @param intString the string subset
* @return the sum of the string subset
*/
private static int getSum(String intString) {
int sum = 0;
StringTokenizer sTokens = new StringTokenizer(intString, token);
while (sTokens.hasMoreElements()) {
sum += Integer.parseInt((String) sTokens.nextElement());
}
return sum;
}
/**
* Cracking it down here : )
*
* @param args command line arguments.
*/
public static void main(String[] args) {
int [] n = {24, 1, 15, 3, 4, 15, 3};
int counter = 1;
FindSubsetsThatSumToATarget.findTargetSumSubsets(n, 25, "", 0);
for (String str: allSubsets) {
System.out.println(counter + ") " + str);
counter++;
}
}
}
Он дает разделенные пробелами значения подмножеств, которые суммируются с целью.
Распечатал бы разделенные запятыми значения для подмножеств с суммой 25 в {24, 1, 15, 3, 4, 15, 3}
1) 24 1
2) 3 4 15 3
3) 15 3 4 3
Тот же сайт geeksforgeeks также обсуждает решение для вывода всех подмножеств, которые суммируются с определенным значением: http://www.geeksforgeeks.org/backttracking-set-4-subset-sum/
В вашем случае вместо наборов вывода вам просто нужно их подсчитать. Обязательно проверьте оптимизированную версию на той же странице, что и проблема NP-complete.
Этот вопрос также задавался и отвечал ранее в stackoverflow без упоминания о том, что это проблема с подмножеством: Поиск всех возможных комбинаций чисел для достижения заданной суммы
Эта моя программа в рубине. Он будет возвращать массивы, каждый из которых будет суммировать подпоследовательности до заданного целевого значения.
array = [1, 3, 4, 2, 7, 8, 9]
0..array.size.times.each do |i|
@ary.combination(i).to_a.each { |a| print a if a.inject(:+) == 9}
end
Я решил это java. Это решение довольно просто.
import java.util.*;
public class Recursion {
static void sum(int[] arr, int i, int sum, int target, String s)
{
for(int j = i+1; j<arr.length; j++){
if(sum+arr[j] == target){
System.out.println(s+" "+String.valueOf(arr[j]));
}else{
sum(arr, j, sum+arr[j], target, s+" "+String.valueOf(arr[j]));
}
}
}
public static void main(String[] args)
{
int[] numbers = {6,3,8,10,1};
for(int i =0; i<numbers.length; i++){
sum(numbers, i, numbers[i], 18, String.valueOf(numbers[i]));
}
}
}
Обычное решение DP верно для проблемы.
Одна оптимизация, которую вы можете сделать, состоит в том, чтобы подсчитать количество решений для конкретной суммы, а не фактические множества, составляющие эту сумму...
Это моя динамическая реализация программирования в JS. Он вернет массив массивов, каждый из которых будет содержать подпоследовательности, суммирующие до заданного целевого значения.
function getSummingItems(a,t){
return a.reduce((h,n) => Object.keys(h)
.reduceRight((m,k) => +k+n <= t ? (m[+k+n] = m[+k+n] ? m[+k+n].concat(m[k].map(sa => sa.concat(n)))
: m[k].map(sa => sa.concat(n)),m)
: m, h), {0:[[]]})[t];
}
var arr = Array(20).fill().map((_,i) => i+1), // [1,2,..,20]
tgt = 42,
res = [];
console.time("test");
res = getSummingItems(arr,tgt);
console.timeEnd("test");
console.log("found",res.length,"subsequences summing to",tgt);
console.log(JSON.stringify(res));public class SumOfSubSet {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int a[] = {1,2};
int sum=0;
if(a.length<=0) {
System.out.println(sum);
}else {
for(int i=0;i<a.length;i++) {
sum=sum+a[i];
for(int j=i+1;j<a.length;j++) {
sum=sum+a[i]+a[j];
}
}
System.out.println(sum);
}
}
}
РУБИН
Этот код отклоняет пустые массивы и возвращает правильный массив со значениями.
def find_sequence(val, num)
b = val.length
(0..b - 1).map {|n| val.uniq.combination(n).each.find_all {|value| value.reduce(:+) == num}}.reject(&:empty?)
end
val = [-10, 1, -1, 2, 0]
num = 2
Вывод будет [[2], [2,0], [-1, 1,2], [-1, 1,2,0]]
Мое решение по возврату: - Сортируйте массив, затем примените возврат.
void _find(int arr[],int end,vector<int> &v,int start,int target){
if(target==0){
for(int i = 0;i<v.size();i++){
cout<<v[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
else{
for(int i = start;i<=end && target >= arr[i];i++){
v.push_back(arr[i]);
_find(arr,end,v,i+1,target-arr[i]);
v.pop_back();
}
}
}
Хотя определить, является ли их подмножество целевым набором или нет, довольно просто, реализация усложняется, когда вам нужно отслеживать рассматриваемые частичные подмножества.
Если вы используете связанный список, хэш-набор или любую другую универсальную коллекцию, у вас возникнет соблазн добавить элемент в эту коллекцию перед вызовом, включающим этот элемент, а затем удалить его до вызова, исключающего этот элемент. Это не работает должным образом, так как стековые фреймы, в которых будет происходить добавление, не совпадают с теми, в которых будет происходить удаление.
Решение состоит в том, чтобы использовать строку для отслеживания последовательности. Присоединение к строке можно сделать встроенным в вызов функции; тем самым поддерживая тот же кадр стека, и ваш ответ будет прекрасно соответствовать исходной рекурсивной структуре hasSubSetSum.
import java.util.ArrayList;
Public Class Solution {
public static boolean hasSubSet(int [] A, int target) {
ArrayList<String> subsets = new ArrayList<>();
helper(A, target, 0, 0, subsets, "");
// Printing the contents of subsets is straightforward
return !subsets.isEmpty();
}
private static void helper(int[] A, int target, int sumSoFar, int i, ArrayList<String> subsets, String curr) {
if(i == A.length) {
if(sumSoFar == target) {
subsets.add(curr);
}
return;
}
helper(A, target, sumSoFar, i+1, subsets, curr);
helper(A, target, sumSoFar + A[i], i+1, subsets, curr + A[i]);
}
public static void main(String [] args) {
System.out.println(hasSubSet(new int[] {1,2,4,5,6}, 8));
}
}
Задача суммы подмножеств может быть решена в O (сумма * n) с помощью динамического программирования. Оптимальная подструктура для подмножества суммы выглядит следующим образом:
SubsetSum (A, n, sum) = SubsetSum (A, n-1, sum) || SubsetSum (A, n-1, sum-set [n-1])
SubsetSum (A, n, sum) = 0, если sum> 0 и n == 0 SubsetSum (A, n, sum) = 1, если sum == 0
Здесь A - массив элементов, n - количество элементов массива A, а sum - сумма элементов в подмножестве.
Используя этот дп, вы можете определить количество подмножеств для суммы.
Для получения элементов подмножества мы можем использовать следующий алгоритм:
После заполнения dp [n] [sum] путем вызова SubsetSum (A, n, sum) мы рекурсивно обходим его из dp [n] [sum]. Для прохождения ячейки мы сохраняем путь до его достижения и рассматриваем две возможности для элемента.
1) Элемент включен в текущий путь.
2) Элемент не включен в текущий путь.
Всякий раз, когда сумма становится 0, мы прекращаем рекурсивные вызовы и печатаем текущий путь.
void findAllSubsets(int dp[], int A[], int i, int sum, vector<int>& p) {
if (sum == 0) {
print(p);
return;
}
// If sum can be formed without including current element
if (dp[i-1][sum])
{
// Create a new vector to store new subset
vector<int> b = p;
findAllSubsets(dp, A, i-1, sum, b);
}
// If given sum can be formed after including
// current element.
if (sum >= A[i] && dp[i-1][sum-A[i]])
{
p.push_back(A[i]);
findAllSubsets(dp, A, i-1, sum-A[i], p);
}
}
Следующее решение также предоставляет массив подмножеств, которые обеспечивают конкретную сумму (здесь сумма = 9)
array = [1, 3, 4, 2, 7, 8, 9]
(0..array.size).map { |i| array.combination(i).to_a.select { |a| a.sum == 9 } }.flatten(1)
вернуть массив подмножеств, которые возвращают сумму 9
=> [[9], [1, 8], [2, 7], [3, 4, 2]]
Вот эффективное решение, когда есть большой набор входов (то есть от 25 до 30)
Я добился повышения эффективности двумя способами:
Это решение работает с отрицательными числами, десятичными суммами и повторными входными значениями. В связи с тем, что десятичная математика с плавающей запятой работает в большинстве языков очень хитроумно, вам может понадобиться оставить только несколько десятичных разрядов для ввода, иначе у вас может возникнуть непредсказуемое поведение.
На моем старом настольном компьютере 2012-го года данный код обрабатывает 25 входных значений примерно за 0,8 секунды в javascript/node.js и 3,4 секунды в С#.
let numbers = [-0.47, -0.35, -0.19, 0.23, 0.36, 0.47, 0.51, 0.59, 0.63, 0.79, 0.85,
0.91, 0.99, 1.02, 1.17, 1.25, 1.39, 1.44, 1.59, 1.60, 1.79, 1.88, 1.99, 2.14, 2.31];
let target = 24.16;
displaySubsetsThatSumTo(target, numbers);
function displaySubsetsThatSumTo(target, numbers)
{
let wheel = [0];
let resultsCount = 0;
let sum = 0;
const start = new Date();
do {
sum = incrementWheel(0, sum, numbers, wheel);
//Use subtraction comparison due to javascript float imprecision
if (sum != null && Math.abs(target - sum) < 0.000001) {
//Found a subset. Display the result.
console.log(numbers.filter(function(num, index) {
return wheel[index] === 1;
}).join(' + ') + ' = ' + target);
resultsCount++;
}
} while (sum != null);
const end = new Date();
console.log('--------------------------');
console.log('Processed ${numbers.length} numbers in ${(end - start) / 1000} seconds (${resultsCount} results)');
}
function incrementWheel(position, sum, numbers, wheel) {
if (position === numbers.length || sum === null) {
return null;
}
wheel[position]++;
if (wheel[position] === 2) {
wheel[position] = 0;
sum -= numbers[position];
if (wheel.length < position + 2) {
wheel.push(0);
}
sum = incrementWheel(position + 1, sum, numbers, wheel);
}
else {
sum += numbers[position];
}
return sum;
}
public class Program
{
static void Main(string[] args)
{
double[] numbers = { -0.47, -0.35, -0.19, 0.23, 0.36, 0.47, 0.51, 0.59, 0.63, 0.79, 0.85,
0.91, 0.99, 1.02, 1.17, 1.25, 1.39, 1.44, 1.59, 1.60, 1.79, 1.88, 1.99, 2.14, 2.31 };
double target = 24.16;
DisplaySubsetsThatSumTo(target, numbers);
}
private static void DisplaySubsetsThatSumTo(double Target, double[] numbers)
{
var stopwatch = new System.Diagnostics.Stopwatch();
bool[] wheel = new bool[numbers.Length];
int resultsCount = 0;
double? sum = 0;
stopwatch.Start();
do
{
sum = IncrementWheel(0, sum, numbers, wheel);
//Use subtraction comparison due to double type imprecision
if (sum.HasValue && Math.Abs(sum.Value - Target) < 0.000001F)
{
//Found a subset. Display the result.
Console.WriteLine(string.Join(" + ", numbers.Where((n, idx) => wheel[idx])) + " = " + Target);
resultsCount++;
}
} while (sum != null);
stopwatch.Stop();
Console.WriteLine("--------------------------");
Console.WriteLine($"Processed {numbers.Length} numbers in {stopwatch.ElapsedMilliseconds / 1000.0} seconds ({resultsCount} results). Press any key to exit.");
Console.ReadKey();
}
private static double? IncrementWheel(int Position, double? Sum, double[] numbers, bool[] wheel)
{
if (Position == numbers.Length || !Sum.HasValue)
{
return null;
}
wheel[Position] = !wheel[Position];
if (!wheel[Position])
{
Sum -= numbers[Position];
Sum = IncrementWheel(Position + 1, Sum, numbers, wheel);
}
else
{
Sum += numbers[Position];
}
return Sum;
}
}
-0.35 + 0.23 + 0.36 + 0.47 + 0.51 + 0.59 + 0.63 + 0.79 + 0.85 + 0.91 + 0.99 + 1.02 + 1.17 + 1.25 + 1.44 + 1.59 + 1.6 + 1.79 + 1.88 + 1.99 + 2.14 + 2.31 = 24.16
0.23 + 0.51 + 0.59 + 0.63 + 0.79 + 0.85 + 0.99 + 1.02 + 1.17 + 1.25 + 1.39 + 1.44 + 1.59 + 1.6 + 1.79 + 1.88 + 1.99 + 2.14 + 2.31 = 24.16
-0.47 + 0.23 + 0.47 + 0.51 + 0.59 + 0.63 + 0.79 + 0.85 + 0.99 + 1.02 + 1.17 + 1.25 + 1.39 + 1.44 + 1.59 + 1.6 + 1.79 + 1.88 + 1.99 + 2.14 + 2.31 = 24.16
-0.19 + 0.36 + 0.51 + 0.59 + 0.63 + 0.79 + 0.91 + 0.99 + 1.02 + 1.17 + 1.25 + 1.39 + 1.44 + 1.59 + 1.6 + 1.79 + 1.88 + 1.99 + 2.14 + 2.31 = 24.16
-0.47 + -0.19 + 0.36 + 0.47 + 0.51 + 0.59 + 0.63 + 0.79 + 0.91 + 0.99 + 1.02 + 1.17 + 1.25 + 1.39 + 1.44 + 1.59 + 1.6 + 1.79 + 1.88 + 1.99 + 2.14 + 2.31 = 24.16
0.23 + 0.47 + 0.51 + 0.63 + 0.85 + 0.91 + 0.99 + 1.02 + 1.17 + 1.25 + 1.39 + 1.44 + 1.59 + 1.6 + 1.79 + 1.88 + 1.99 + 2.14 + 2.31 = 24.16
--------------------------
Processed 25 numbers in 0.823 seconds (6 results)