У меня есть отсортированный список, который повернут и хотел бы выполнить двоичный поиск в этом списке, чтобы найти минимальный элемент.
Предположим, что начальный список {1,2,3,4,5,6,7,8} повернутый список может быть похож на {5,6,7,8,1,2,3,4}
Обычный двоичный поиск в этом случае не работает. Любая идея, как это сделать.
- Изменить
У меня есть еще одно условие. Что делать, если список не отсортирован?
Небольшая модификация алгоритма бинарного поиска - это все, что вам нужно; здесь решение в полной runnable Java (см. Serg answer для реализации Delphi и tkr answer для визуального объяснения алгоритм).
import java.util.*;
public class BinarySearch {
static int findMinimum(Integer[] arr) {
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
while (arr[low] > arr[high]) {
int mid = (low + high) >>> 1;
if (arr[mid] > arr[high]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
return low;
}
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
// must be in sorted order, allowing rotation, and contain no duplicates
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(Arrays.toString(arr));
int minIndex = findMinimum(arr);
System.out.println(" Min is " + arr[minIndex] + " at " + minIndex);
Collections.rotate(Arrays.asList(arr), 1);
}
}
}
Отпечатки:
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] Min is 1 at 0
[7, 1, 2, 3, 4, 5, 6] Min is 1 at 1
[6, 7, 1, 2, 3, 4, 5] Min is 1 at 2
[5, 6, 7, 1, 2, 3, 4] Min is 1 at 3
[4, 5, 6, 7, 1, 2, 3] Min is 1 at 4
[3, 4, 5, 6, 7, 1, 2] Min is 1 at 5
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 1] Min is 1 at 6
Integer[] вместо int[]>>> 1 вместо / 2Обратите внимание, что дубликаты делают это невозможным в O(log N). Рассмотрим следующий бит-массив, состоящий из многих 1 и один 0:
(sorted)
01111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
^
(rotated)
11111111111111111111111111111111111111111111101111111111111111111
^
(rotated)
11111111111111101111111111111111111111111111111111111111111111111
^
Этот массив можно повернуть в N способами, а расположение 0 в O(log N) невозможно, так как нет способа определить, находится ли он в левой или правой части "среднего".
У меня есть еще одно условие. Что делать, если список не отсортирован?
Затем, если вы не хотите сначала отсортировать его и перейти оттуда, вам нужно выполнить линейный поиск, чтобы найти минимум.
Вот изображение, иллюстрирующее предлагаемые алгоритмы:
Я хотел бы сделать бинарный поиск в этом списке, чтобы найти минимальный элемент.
Тройной поиск будет работать для такого случая: когда функция имеет ровно один локальный минимум.
http://en.wikipedia.org/wiki/Ternary_search
изменить Во втором чтении я, вероятно, неправильно понял вопрос: функция не соответствует требованиям для тройного поиска:/Но не будет ли бинарный поиск работать? Предположим, что первоначальный порядок возрастал.
if (f(left) < f(middle))
// which means, 'left' and 'middle' are on the same segment (before or after point X we search)
// and also 'left' is before X by definition
// so, X must be to the right from 'middle'
left = middle
else
right = middle
Просто выполните метод bisection на list - list[end] в диапазоне [1, конец]. Метод bisection ищет нули в функции путем поиска изменения знака и работает в O (log n).
Например,
{5,6,7,8,1,2,3,4} → {1,2,3,4, -3, -2, -1,0}
Затем используйте (дискретизированный) метод биссекции в этом списке {1,2,3,4, -3, -2, -1}. Он найдет пересечение нуля между 4 и -3, что соответствует вашей точке вращения.
Выберите некоторую подпоследовательность [i,j] списка [first, last). Либо [i,j] не содержит разрыва, в этом случае *i <= *j, либо он делает, и в этом случае остальные элементы (j, last) U [first, i) сортируются правильно, и в этом случае *j <= *i.
Рекурсивно bipartition подозрительный диапазон до тех пор, пока вы не опуститесь до одного элемента. Выполняет сравнение O (log N).
Версия Delphi - третий улучшенный (благодаря коду полигенных смазочных материалов - еще один вариант сравнения):
type
TIntegerArray = array of Integer;
function MinSearch(A: TIntegerArray): Integer;
var
I, L, H: Integer;
begin
L:= Low(A); // = 0
H:= High(A); // = Length(A) - 1
while A[L] > A[H] do begin
I:= (L + H) div 2; // or (L + H) shr 1 to optimize
Assert(I < H);
if (A[I] > A[H])
then L:= I + 1
else H:= I;
end;
Result:= A[L];
end;
Рекурсия очень хороша, если мы хотим поддерживать простоту и читаемость кода. Но если мы сможем избежать рекурсии и по-прежнему поддерживать читаемость, было бы лучше, потому что стоимость рекурсии значительна и на самом деле не масштабируема.
Вот простой итеративный метод с логикой в значительной степени, как обсуждалось выше (он использует бинарный поиск, добавляя небольшую логику раздела).
private static int partitionSearch(int[] sortedArray, int numToFind) {
if(sortedArray[0] > numToFind && sortedArray[sortedArray.length -1 ] < numToFind)
return -1;
boolean isInFirstPartition = sortedArray[0] <= numToFind;
int startIndex = 0;
int endIndex = sortedArray.length -1;
int currentIndex;
int currentValue;
if(isInFirstPartition) {
do {
currentIndex = (startIndex + endIndex) / 2;
currentValue = sortedArray[currentIndex];
if(currentValue == numToFind)
return currentIndex;
if(currentValue > sortedArray[startIndex] && sortedArray[currentIndex] < numToFind)
startIndex = currentIndex + 1;
else
endIndex = currentIndex - 1;
} while (startIndex <= endIndex);
} else {
do {
currentIndex = (startIndex + endIndex) / 2;
currentValue = sortedArray[currentIndex];
if(currentValue == numToFind)
return currentIndex;
if(currentValue < sortedArray[endIndex] && sortedArray[currentIndex] > numToFind)
endIndex = currentIndex - 1;
else
startIndex = currentIndex + 1;
} while (startIndex <= endIndex);
}
return -1;
}
Моя версия реализации алгоритма бинарного поиска в Java:
/**
* Works only for arrays with NO duplicates.
* Work also for zero-shifted array, e.g fully sorted, when shift = 0.
*/
public static int searchInShiftedArr(int[] arr, int key) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1;
}
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
int mid; // declared outside loop to avoid constant memory allocation for this variable
while (low <= high) {
mid = (low + high) >>> 1; // same as "(low + high) / 2", but avoid negative overflow and should be faster than "low + (high - low)/2"
if (arr[mid] == key) {
return mid;
}
if (arr[low] <= arr[mid]) { // means left half of the array is sorted
if (arr[low] <= key && key < arr[mid]) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
} else { // means right half of the array is sorted
if (arr[mid] < key && key <= arr[high]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
}
return -1;
}
Код успешно прошел 5000 TestCases, поэтому я думаю, что это готово к производству.
Что-то вроде этого может работать (не проверено):
//assumes the list is a std::vector<int> myList
int FindMinFromRotated(std::vector<int>::iterator begin, std::vector<int>::iterator end) {
if (begin == end)
throw std::invalid_argument("Iterator range is singular!");
if (std::distance(begin, end) == 1) //What the min of one element?
return *begin;
if (*begin < *end) //List is sorted if this is true.
return *begin;
std::vector<int>::iterator middle(begin);
std::advance(middle, std::distance(begin, end)/2);
if (*middle < *begin) //If this is true, than the middle element selected is past the rotation point
return FindMinFromRotated(begin, middle)
else if (*middle > *begin) //If this is true, the the middle element selected is in front of the rotation point.
return FindMinFromRotated(middle, end)
else //Looks like we found what we need :)
return *begin;
}
В С++ 11 эту проблему можно решить с помощью partition_point:
std::vector<int> arr = {5,6,7,8,1,2,3,4};
auto rotation_point = std::partition_point(arr.begin(), std::prev(arr.end()),
[&arr](int elem) { return elem > arr.back(); });