Число 1s в двух дополнительных двоичных представлениях целых чисел в диапазоне

Ответ 1

Ну, это не так сложно...

Функция с одним аргументом solve(int a) является ключом. Он короткий, поэтому я разрежу его и вставьте сюда:

long long solve(int a)
{
 if(a == 0) return 0 ;
 if(a % 2 == 0) return solve(a - 1) + __builtin_popcount(a) ;
 return ((long long)a + 1) / 2 + 2 * solve(a / 2) ;
}

Он работает только для неотрицательных a и подсчитывает количество 1 бита во всех целых числах от 0 до a включительно.

Функция имеет три случая:

a == 0 → возвращает 0. Очевидно.

a even → возвращает число 1 бит в a плюс solve(a-1). Также довольно очевидно.

Последний случай интересный. Итак, как мы подсчитываем количество 1 бит от 0 до нечетного числа a?

Рассмотрим все целые числа от 0 до a и разделим их на две группы: эвенов и коэффициентов. Например, если a равно 5, у вас есть две группы (в двоичном формате):

000  (aka. 0)
010  (aka. 2)
100  (aka. 4)

и

001  (aka 1)
011  (aka 3)
101  (aka 5)

Обратите внимание, что эти две группы должны иметь одинаковый размер (поскольку a нечетно, а диапазон включен). Чтобы подсчитать, сколько 1 бит есть в каждой группе, сначала подсчитайте все, кроме последних бит, затем подсчитайте последние бит.

Все, кроме последних бит, выглядят следующим образом:

00
01
10

... и для обеих групп это выглядит так. Число 1 бит здесь равно solve(a/2). (В этом примере это число из 1 бита от 0 до 2. Также напомните, что целочисленное деление в C/С++ округляется вниз.)

Последний бит равен нулю для каждого номера в первой группе и по одному для каждого числа во второй группе, поэтому последние бит вносят (a+1)/2 один бит в итоговый.

Итак, третий случай рекурсии (a+1)/2 + 2*solve(a/2), с соответствующими нажатиями на long long для обработки случая, когда a является INT_MAX (и, следовательно, a+1 переполнения).

Это решение O (log N). Чтобы обобщить его на solve(a,b), вы просто вычислите solve(b) - solve(a), а также соответствующую логику для беспокойства по поводу отрицательных чисел. Это то, что делает два аргумента solve(int a, int b).

Ответ 2

Переместите массив в ряд целых чисел. Тогда для каждого целого числа do:

int NumberOfSetBits(int i)
{
   i = i - ((i >> 1) & 0x55555555);
   i = (i & 0x33333333) + ((i >> 2) & 0x33333333);
   return (((i + (i >> 4)) & 0x0F0F0F0F) * 0x01010101) >> 24;
}

Также это переносимо, в отличие от __builtin_popcount

Смотрите здесь: Как подсчитать количество битов в 32-битовом целое?

Ответ 3

когда a положительно, лучшее объяснение уже было опубликовано.

Если a отрицательно, то в 32-битной системе каждое отрицательное число между а и нолем будет иметь на 32 1 бит меньше числа бит в диапазоне от 0 до двоичного представления положительного а.

Итак, лучше,

long long solve(int a) {
    if (a >= 0){
        if (a == 0) return 0;
        else if ((a %2) == 0) return solve(a - 1) + noOfSetBits(a);
        else return (2 * solve( a / 2)) + ((long long)a + 1) / 2;
    }else {
        a++;
        return ((long long)(-a) + 1) * 32 - solve(-a);
    }
}

Ответ 4

В следующем коде битум x определяется как счетчик 1 бит в двух дополнительных представлениях чисел от 0 до x (включительно), где Integer.MIN_VALUE <= x <= Integer.MAX_VALUE.

Например:

bitsum(0) is 0   
bitsum(1) is 1   
bitsum(2) is 1   
bitsum(3) is 4

.. и т.д.

10987654321098765432109876543210 i % 10 for 0 <= i <= 31
00000000000000000000000000000000 0
00000000000000000000000000000001 1
00000000000000000000000000000010 2
00000000000000000000000000000011 3
00000000000000000000000000000100 4
00000000000000000000000000000101 ...
00000000000000000000000000000110
00000000000000000000000000000111 (2^i)-1
00000000000000000000000000001000  2^i
00000000000000000000000000001001 (2^i)+1 
00000000000000000000000000001010 ...
00000000000000000000000000001011 x, 011 = x & (2^i)-1 = 3
00000000000000000000000000001100
00000000000000000000000000001101
00000000000000000000000000001110
00000000000000000000000000001111
00000000000000000000000000010000
00000000000000000000000000010001
00000000000000000000000000010010 18
...
01111111111111111111111111111111 Integer.MAX_VALUE

Формула битума:

bitsum(x) = bitsum((2^i)-1) + 1 + x - 2^i + bitsum(x & (2^i)-1 )

Заметим, что x - 2 ^ я = x и (2 ^ i) -1

Отрицательные числа обрабатываются несколько иначе, чем положительные числа. В этом случае количество нулей вычитается из общего количества бит:

Integer.MIN_VALUE <= x < -1
Total number of bits: 32 * -x.

Число нулей в отрицательном числе x равно числу единиц в -x - 1.

public class TwosComplement {
    //t[i] is the bitsum of (2^i)-1 for i in 0 to 31.
    private static long[] t = new long[32];
    static {
        t[0] = 0;
        t[1] = 1;
        int p = 2;
        for (int i = 2; i < 32; i++) {
            t[i] = 2*t[i-1] + p;
            p = p << 1;
        }
    }

    //count the bits between x and y inclusive
    public static long bitsum(int x, int y) {
        if (y > x && x > 0) {
            return bitsum(y) - bitsum(x-1);
        }
        else if (y >= 0 && x == 0) {
            return bitsum(y);
        }
        else if (y == x) {
            return Integer.bitCount(y);
        }
        else if (x < 0 && y == 0) {
            return bitsum(x);
        } else if (x < 0 && x < y && y < 0 ) {
            return bitsum(x) - bitsum(y+1);
        } else if (x < 0 && x < y && 0 < y) {
            return bitsum(x) + bitsum(y);
        }
        throw new RuntimeException(x + " " + y);
    }

    //count the bits between 0 and x
    public static long bitsum(int x) {
        if (x == 0) return 0;
        if (x < 0) {
            if (x == -1) {
                return 32;
            } else {
                long y = -(long)x;
                return 32 * y - bitsum((int)(y - 1));
            }
        } else {
            int n = x;
            int sum = 0;     //x & (2^i)-1
            int j = 0;
            int i = 1;       //i = 2^j
            int lsb = n & 1; //least significant bit
            n = n >>> 1;
            while (n != 0) {
                sum += lsb * i;
                lsb = n & 1;
                n = n >>> 1;
                i = i << 1;
                j++;
            }
            long tot = t[j] + 1 + sum + bitsum(sum);
            return tot;
        }
    }
}