Квадратичная программа (QP), которая зависит только от NumPy/SciPy?

Ответ 1

Я столкнулся с хорошим решением и хотел получить его там. Существует реализация python LOQO в наборе инструментальных средств машинного обучения ELEFANT из NICTA (http://elefant.forge.nicta.com.au с этой публикации). Посмотрите на optim.intpointsolver. Это было закодировано Алексом Смолой, и я с успехом использовал C-версию того же кода.

Ответ 2

Я не очень хорошо разбираюсь в квадратичном программировании, но думаю, что вы можете решить эту проблему, используя только scipy.optimize алгоритмы минимизации минимизации. Вот пример:

import numpy as np
from scipy import optimize
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d.axes3d import Axes3D

# minimize
#     F = x[1]^2 + 4x[2]^2 -32x[2] + 64

# subject to:
#      x[1] + x[2] <= 7
#     -x[1] + 2x[2] <= 4
#      x[1] >= 0
#      x[2] >= 0
#      x[2] <= 4

# in matrix notation:
#     F = (1/2)*x.T*H*x + c*x + c0

# subject to:
#     Ax <= b

# where:
#     H = [[2, 0],
#          [0, 8]]

#     c = [0, -32]

#     c0 = 64

#     A = [[ 1, 1],
#          [-1, 2],
#          [-1, 0],
#          [0, -1],
#          [0,  1]]

#     b = [7,4,0,0,4]

H = np.array([[2., 0.],
              [0., 8.]])

c = np.array([0, -32])

c0 = 64

A = np.array([[ 1., 1.],
              [-1., 2.],
              [-1., 0.],
              [0., -1.],
              [0.,  1.]])

b = np.array([7., 4., 0., 0., 4.])

x0 = np.random.randn(2)

def loss(x, sign=1.):
    return sign * (0.5 * np.dot(x.T, np.dot(H, x))+ np.dot(c, x) + c0)

def jac(x, sign=1.):
    return sign * (np.dot(x.T, H) + c)

cons = {'type':'ineq',
        'fun':lambda x: b - np.dot(A,x),
        'jac':lambda x: -A}

opt = {'disp':False}

def solve():

    res_cons = optimize.minimize(loss, x0, jac=jac,constraints=cons,
                                 method='SLSQP', options=opt)

    res_uncons = optimize.minimize(loss, x0, jac=jac, method='SLSQP',
                                   options=opt)

    print '\nConstrained:'
    print res_cons

    print '\nUnconstrained:'
    print res_uncons

    x1, x2 = res_cons['x']
    f = res_cons['fun']

    x1_unc, x2_unc = res_uncons['x']
    f_unc = res_uncons['fun']

    # plotting
    xgrid = np.mgrid[-2:4:0.1, 1.5:5.5:0.1]
    xvec = xgrid.reshape(2, -1).T
    F = np.vstack([loss(xi) for xi in xvec]).reshape(xgrid.shape[1:])

    ax = plt.axes(projection='3d')
    ax.hold(True)
    ax.plot_surface(xgrid[0], xgrid[1], F, rstride=1, cstride=1,
                    cmap=plt.cm.jet, shade=True, alpha=0.9, linewidth=0)
    ax.plot3D([x1], [x2], [f], 'og', mec='w', label='Constrained minimum')
    ax.plot3D([x1_unc], [x2_unc], [f_unc], 'oy', mec='w',
              label='Unconstrained minimum')
    ax.legend(fancybox=True, numpoints=1)
    ax.set_xlabel('x1')
    ax.set_ylabel('x2')
    ax.set_zlabel('F')

Вывод:

Constrained:
  status: 0
 success: True
    njev: 4
    nfev: 4
     fun: 7.9999999999997584
       x: array([ 2.,  3.])
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     jac: array([ 4., -8.,  0.])
     nit: 4

Unconstrained:
  status: 0
 success: True
    njev: 3
    nfev: 5
     fun: 0.0
       x: array([ -2.66453526e-15,   4.00000000e+00])
 message: 'Optimization terminated successfully.'
     jac: array([ -5.32907052e-15,  -3.55271368e-15,   0.00000000e+00])
     nit: 3

Ответ 3

Это может быть поздний ответ, но я нашел CVXOPT - http://cvxopt.org/ - как обычно используемую бесплатную библиотеку python для Quadratic Programming. Однако его нелегко установить, так как требует установки других зависимостей.

Ответ 4

mystic обеспечивает чистую реализацию на питоне нелинейных/невыпуклых алгоритмов оптимизации с расширенными функциями ограничений, которые обычно встречаются только в решателях QP. mystic фактически обеспечивает более надежные ограничения, чем большинство решателей QP. Однако, если вы ищете алгоритмическую скорость оптимизации, то следующее не для вас. mystic не медленный, но чистый python в отличие от привязок python к C. Если вы ищете гибкость и функциональность QP-ограничений в нелинейном решателе, тогда вам может быть интересно.

"""
Maximize: f = 2*x[0]*x[1] + 2*x[0] - x[0]**2 - 2*x[1]**2

Subject to: -2*x[0] + 2*x[1] <= -2
             2*x[0] - 4*x[1] <= 0
               x[0]**3 -x[1] == 0

where: 0 <= x[0] <= inf
       1 <= x[1] <= inf
"""
import numpy as np
import mystic.symbolic as ms
import mystic.solvers as my
import mystic.math as mm

# generate constraints and penalty for a nonlinear system of equations 
ieqn = '''
   -2*x0 + 2*x1 <= -2
    2*x0 - 4*x1 <= 0'''
eqn = '''
     x0**3 - x1 == 0'''
cons = ms.generate_constraint(ms.generate_solvers(ms.simplify(eqn,target='x1')))
pens = ms.generate_penalty(ms.generate_conditions(ieqn), k=1e3)
bounds = [(0., None), (1., None)]

# get the objective
def objective(x, sign=1):
  x = np.asarray(x)
  return sign * (2*x[0]*x[1] + 2*x[0] - x[0]**2 - 2*x[1]**2)

# solve    
x0 = np.random.rand(2)
sol = my.fmin_powell(objective, x0, constraint=cons, penalty=pens, disp=True,
                     bounds=bounds, gtol=3, ftol=1e-6, full_output=True,
                     args=(-1,))

print 'x* = %s; f(x*) = %s' % (sol[0], -sol[1])

Следует отметить, что mystic может в общих чертах применять ограничения LP, QP и более высокого порядка и ограничения неравенства для любого заданного оптимизатора, а не только для специального решателя QP. Во-вторых, mystic может переварить символическую математику, поэтому легкость определения/ввода ограничений немного лучше, чем работа с матрицами и производными функций. mystic зависит от numpy и будет использовать scipy, если он установлен (однако scipy не требуется). mystic использует sympy для обработки символических ограничений, но также не требуется для оптимизации в целом.

Вывод:

Optimization terminated successfully.
         Current function value: -2.000000
         Iterations: 3
         Function evaluations: 103

x* = [ 2.  1.]; f(x*) = 2.0

Получить mystic здесь: https://github.com/uqfoundation