Для этой цели я перешел на использование протокола SSH для общения с BitBucket. Сделав это, я смог создать частную/открытую пару ключей с закрытым ключом на моей машине сборки Jenkins, а открытый ключ добавлен в мою учетную запись на BitBucket. Затем SSH можно настроить для аутентификации на основе этой пары ключей.
Слово предупреждения, если ваша машина Jenkins основана на окнах, я бы избегал использования plink/TortoisePLink в качестве агента SSH и вместо этого использовал OpenSSH из Cygwin, поскольку он намного быстрее при клонировании/обновлении больших репозиториев. Было немного сложно установить это сначала, но, возможно, это потребует отдельного вопроса о переполнении стека.