Ленивый список простых чисел

Ответ 1

Здесь короткая функция Haskell, которая перечисляет простые числа из Грамотные программы:

primes :: [Integer]
primes = sieve (2 : [3, 5..])
  where
    sieve (p:xs) = p : sieve [x|x <- xs, x `mod` p > 0]

По-видимому, это не Сито Эратосфена (спасибо, Ландей). Я думаю, что это по-настоящему поучительный пример, который показывает, что вы можете написать очень элегантный, короткий код в Haskell, и это показывает, как выбор неправильной структуры данных может сильно снизить эффективность.

Ответ 2

Я бы предложил взять одну из реализаций из этой статьи: http://www.cs.hmc.edu/~oneill/papers/Sieve-JFP.pdf

Ответ 3

Существует несколько решений для ленивой генерации простых последовательностей прямо в вики Wiki. Первым и самым простым является Отложенное сито решетки: ^{(старая версия... NB)}

primes :: [Integer]
primes = 2: 3: sieve (tail primes) [5,7..]
 where 
  sieve (p:ps) xs = h ++ sieve ps [x | x <- t, x `rem` p /= 0]  
                                -- or:  filter ((/=0).(`rem`p)) t
                  where (h,~(_:t)) = span (< p*p) xs

Ответ 4

Принятый ответ от @nikie не очень эффективен, он становится относительно медленным после нескольких тысяч, но ответ @sleepynate намного лучше. Мне потребовалось некоторое время, чтобы понять это, поэтому вот тот же код, но только с более понятными переменными:

lazyPrimes :: [Integer]
lazyPrimes = 2: 3: calcNextPrimes (tail lazyPrimes) [5, 7 .. ]
  where
    calcNextPrimes (p:ps) candidates =
      let (smallerSquareP, (_:biggerSquareP)) = span (< p * p) candidates in
      smallerSquareP ++ calcNextPrimes ps [c | c <- biggerSquareP, rem c p /= 0]

Основная идея заключается в том, что кандидаты на следующие простые числа уже не содержат чисел, которые делятся на любое простое число меньше первого простого числа, данного функции. Так что если вы вызываете

calcNextPrimes (5:ps) [11,13,17..]

список кандидатов не содержит числа, которое делится на 2 или 3, это означает, что первый непервой кандидат будет 5 * 5, причина 5* 2 и 5 * 3 и 5 * 4 уже устранены. Это позволяет вам брать всех кандидатов, которые меньше квадрата 5, и добавлять их прямо к простым числам и решать остальные, чтобы исключить все числа, делящиеся на 5.

Ответ 5

primes = 2 : [x | x <- [3..], all (\y -> x 'mod' y /= 0) 
                   (takeWhile (<= (floor . sqrt $ fromIntegral x)) primes)]

Первоначально имея 2 в списке, для каждого целого числа x больше 2, проверьте, все ли primes y в primes таковы, что выполняется y <= sqrt(x), x mod y != 0, что означает, что x не имеет других факторов, кроме 1 сам.