Ответ 1

np.fft.fftfreq указывает частоты, связанные с коэффициентами:

import numpy as np

x = np.array([1,2,1,0,1,2,1,0])
w = np.fft.fft(x)
freqs = np.fft.fftfreq(len(x))

for coef,freq in zip(w,freqs):
    if coef:
        print('{c:>6} * exp(2 pi i t * {f})'.format(c=coef,f=freq))

# (8+0j) * exp(2 pi i t * 0.0)
#    -4j * exp(2 pi i t * 0.25)
#     4j * exp(2 pi i t * -0.25)

ОП спрашивает, как найти частоту в Герце. Я считаю, что формула frequency (Hz) = abs(fft_freq * frame_rate).

Вот какой код, который демонстрирует это.

Сначала мы создаем волновой файл с частотой 440 Гц:

import math
import wave
import struct

if __name__ == '__main__':
    # http://stackoverflow.com/questions/3637350/how-to-write-stereo-wav-files-in-python
    # http://www.sonicspot.com/guide/wavefiles.html
    freq = 440.0
    data_size = 40000
    fname = "test.wav"
    frate = 11025.0
    amp = 64000.0
    nchannels = 1
    sampwidth = 2
    framerate = int(frate)
    nframes = data_size
    comptype = "NONE"
    compname = "not compressed"
    data = [math.sin(2 * math.pi * freq * (x / frate))
            for x in range(data_size)]
    wav_file = wave.open(fname, 'w')
    wav_file.setparams(
        (nchannels, sampwidth, framerate, nframes, comptype, compname))
    for v in data:
        wav_file.writeframes(struct.pack('h', int(v * amp / 2)))
    wav_file.close()

Это создает файл test.wav. Теперь мы читаем в данных, FFT, находим коэффициент с максимальной мощностью, и найти соответствующую частоту fft, а затем преобразовать в Hertz:

import wave
import struct
import numpy as np

if __name__ == '__main__':
    data_size = 40000
    fname = "test.wav"
    frate = 11025.0
    wav_file = wave.open(fname, 'r')
    data = wav_file.readframes(data_size)
    wav_file.close()
    data = struct.unpack('{n}h'.format(n=data_size), data)
    data = np.array(data)

    w = np.fft.fft(data)
    freqs = np.fft.fftfreq(len(w))
    print(freqs.min(), freqs.max())
    # (-0.5, 0.499975)

    # Find the peak in the coefficients
    idx = np.argmax(np.abs(w))
    freq = freqs[idx]
    freq_in_hertz = abs(freq * frate)
    print(freq_in_hertz)
    # 439.8975

Ответ 2

Частоты, связанные с значениями DFT (в python)

По fft, Быстрому преобразованию Фурье, мы понимаем элемент большого семейства алгоритмов, которые позволяют быстро вычислять ДПФ, Дискретное преобразование Фурье, равносильного сигнала.

A DFT преобразует список N комплексных чисел в список из N комплексных чисел, при том понимании, что оба списка являются периодическими с периодом N.

Здесь мы имеем дело с реализацией numpy fft.

Во многих случаях вы думаете о

• сигнал x, определенный во временной области длины N, отбираемый на постоянный интервал dt,
• его DFT X (здесь конкретно X = np.fft.fft(x)), элементы которого отбираются на частотной оси с частотой дискретизации dw.

Некоторое определение

• период (aka duration) сигнала x, выбранный в dt с N образцами, равен

  T = dt*N
  

• основные частоты (в Гц и в рад/с) x, ваш DFT

  df = 1/T
  dw = 2*pi/T # =df*2*pi
  

• верхняя частота - это Nyquist частота

  ny = dw*N/2
  

  (и это не dw*N)

Частоты, связанные с конкретным элементом в DFT

Частоты, соответствующие элементам в X = np.fft.fft(x) для заданного индекса 0<=n<N, можно вычислить следующим образом:

def rad_on_s(n, N, dw):
    return dw*n if n<N/2 else dw*(n-N)

или в одной развертке

w = np.array([dw*nif n<N/2 else dw*(n-N) for n in range(N)])

если вы предпочитаете рассматривать частоты в Гц, s/w/f/

f = np.array([df*n if n<N/2 else df*(n-N) for n in range(N)])

Используя эти частоты

Если вы хотите изменить исходный сигнал x → y, применяя оператор в частотной области только в форме функции только частоты, то вычисляем w и

Y = X*f(w)
y = ifft(Y)

Представляем np.fft.fftfreq

Конечно, numpy имеет функцию удобства np.fft.fftfreq, которая возвращает безразмерные частоты, а не мерные, но это так же просто, как

f = np.fft.fftfreq(N)*N*df
w = np.fft.fftfreq(N)*N*dw

Ответ 3

Частота - это только индекс массива. При индексе n частота равна 2 πn/длина массива (радианы на единицу). Рассмотрим:

>>> numpy.fft.fft([1,2,1,0,1,2,1,0])
array([ 8.+0.j,  0.+0.j,  0.-4.j,  0.+0.j,  0.+0.j,  0.+0.j,  0.+4.j,
        0.+0.j])

результат имеет ненулевые значения при индексах 0, 2 и 6. Имеется 8 элементов. Это означает

       2πit/8 × 0       2πit/8 × 2       2πit/8 × 6
    8 e           - 4i e           + 4i e
y ~ ———————————————————————————————————————————————
                          8