Как проверить, находится ли точка внутри выпуклого многоугольника в двумерных целочисленных координатах?

Ответ 1

Если он выпуклый, то тривиальный способ его проверить состоит в том, что точка лежит на одной стороне всех отрезков (если пересекается в одном порядке).

Вы можете легко это проверить с помощью перекрестного продукта (поскольку он пропорционален косинусу угла, образованного между сегментом и точкой, те с положительным знаком будут располагаться с правой стороны, а с отрицательным знаком на левой стороне).

Вот код в Python:

RIGHT = "RIGHT"
LEFT = "LEFT"

def inside_convex_polygon(point, vertices):
    previous_side = None
    n_vertices = len(vertices)
    for n in xrange(n_vertices):
        a, b = vertices[n], vertices[(n+1)%n_vertices]
        affine_segment = v_sub(b, a)
        affine_point = v_sub(point, a)
        current_side = get_side(affine_segment, affine_point)
        if current_side is None:
            return False #outside or over an edge
        elif previous_side is None: #first segment
            previous_side = current_side
        elif previous_side != current_side:
            return False
    return True

def get_side(a, b):
    x = x_product(a, b)
    if x < 0:
        return LEFT
    elif x > 0: 
        return RIGHT
    else:
        return None

def v_sub(a, b):
    return (a[0]-b[0], a[1]-b[1])

def x_product(a, b):
    return a[0]*b[1]-a[1]*b[0]

Ответ 2

Методы лучей или обмотки являются наиболее распространенными для этой проблемы. Подробнее см. статью Википедии.

Кроме того, проверьте эту страницу для хорошо документированного решения на C.

Ответ 3

Если многоугольник выпуклый, то в С# следующий реализует метод " test if always on same side " и работает не более, чем в O (n точек полигона):

public static bool IsInConvexPolygon(Point testPoint, List<Point> polygon)
{
    //Check if a triangle or higher n-gon
    Debug.Assert(polygon.Length >= 3);

    //n>2 Keep track of cross product sign changes
    var pos = 0;
    var neg = 0;

    for (var i = 0; i < polygon.Count; i++)
    {
        //If point is in the polygon
        if (polygon[i] == testPoint)
            return true;

        //Form a segment between the i'th point
        var x1 = polygon[i].X;
        var y1 = polygon[i].Y;

        //And the i+1'th, or if i is the last, with the first point
        var i2 = i < polygon.Count - 1 ? i + 1 : 0;

        var x2 = polygon[i2].X;
        var y2 = polygon[i2].Y;

        var x = testPoint.X;
        var y = testPoint.Y;

        //Compute the cross product
        var d = (x - x1)*(y2 - y1) - (y - y1)*(x2 - x1);

        if (d > 0) pos++;
        if (d < 0) neg++;

        //If the sign changes, then point is outside
        if (pos > 0 && neg > 0)
            return false;
    }

    //If no change in direction, then on same side of all segments, and thus inside
    return true;
}

Ответ 4

Функция pointPolygonTest в openCV "определяет, находится ли точка внутри контура, снаружи или лежит на ребре": http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=pointpolygontest#pointpolygontest

Ответ 5

fortran ответ почти сработал у меня, но я обнаружил, что мне пришлось переводить многоугольник так, чтобы тестируемая точка была такой же, как и исходная. Вот JavaScript, который я написал, чтобы сделать эту работу:

function Vec2(x, y) {
  return [x, y]
}
Vec2.nsub = function (v1, v2) {
  return Vec2(v1[0]-v2[0], v1[1]-v2[1])
}
// aka the "scalar cross product"
Vec2.perpdot = function (v1, v2) {
  return v1[0]*v2[1] - v1[1]*v2[0]
}

// Determine if a point is inside a polygon.
//
// point     - A Vec2 (2-element Array).
// polyVerts - Array of Vec2 (2-element Arrays). The vertices that make
//             up the polygon, in clockwise order around the polygon.
//
function coordsAreInside(point, polyVerts) {
  var i, len, v1, v2, edge, x
  // First translate the polygon so that `point` is the origin. Then, for each
  // edge, get the angle between two vectors: 1) the edge vector and 2) the
  // vector of the first vertex of the edge. If all of the angles are the same
  // sign (which is negative since they will be counter-clockwise) then the
  // point is inside the polygon; otherwise, the point is outside.
  for (i = 0, len = polyVerts.length; i < len; i++) {
    v1 = Vec2.nsub(polyVerts[i], point)
    v2 = Vec2.nsub(polyVerts[i+1 > len-1 ? 0 : i+1], point)
    edge = Vec2.nsub(v1, v2)
    // Note that we could also do this by using the normal + dot product
    x = Vec2.perpdot(edge, v1)
    // If the point lies directly on an edge then count it as in the polygon
    if (x < 0) { return false }
  }
  return true
}

Ответ 6

Или от человека, написавшего книгу, смотрите - геометрия страницы

В частности эта страница, он обсуждает, почему правило обмотки обычно лучше, чем пересечение лучей.

edit - Извините, что это не Jospeh O'Rourke, который написал отличную книгу "Вычислительная геометрия в C" , это Paul Bourke, но все же очень хороший источник алгоритмов геометрии.

Ответ 7

как я знаю, это что-то вроде этого.

вы выбираете точку где-то вне полигона, она может быть далеко от геометрии. то вы нарисуете линию с этой точки. я имею в виду, что вы создаете линейное уравнение с этими двумя точками.

то для каждой строки этого многоугольника вы проверяете, пересекаются ли они.

их сумма числа пересекающихся строк дает вам это внутри или нет.

если он нечетный: внутри

если он четный: вне