Почему интеграция с Verlet лучше, чем интеграция Euler?

Ответ 1

Метод Верле хорош в моделировании систем с энергосбережением, и причина в том, что он симплектичен. Чтобы понять это утверждение, вам нужно описать временный шаг в моделировании как функции f, которая отображает пространство состояний в себя. Другими словами, каждый тайм-код может быть записан в следующей форме.

(x (t + dt), v (t + dt)) = f (x (t), v (t))

Функция временного шага, метод Verlet имеет специальное свойство, которое сохраняет объем пространства состояний. Мы можем написать это в математических терминах. Если в пространстве состояний имеется множество состояний A, вы можете определить f (A) на

f (A) = {f (x) | для x в A}

Предположим теперь, что множества A и f (A) являются гладкими и хорошими, поэтому мы можем определить их объем. Тогда симплектическое отображение f всегда будет удовлетворять тому, что объем f (A) совпадает с объемом A. (и это будет выполнено для всех приятных и гладких вариантов A). Это выполняется функцией временного шага метода Verlet, поэтому метод Verlet является симплектическим методом.

Теперь последний вопрос. Почему симплектический метод хорош для моделирования систем с энергосбережением, но я боюсь, что вам придется прочитать книгу, чтобы понять это.

Ответ 2

метод Эйлера является схемой интеграции первого порядка, т.е. общая ошибка пропорциональна размеру шага. Тем не менее, он может быть численно неустойчивым, другими словами, накопленная ошибка может подавить расчет, давая вам вздор. Обратите внимание, что эта нестабильность может произойти независимо от того, насколько малы вы делаете размер шага или система линейна или нет. Я не знаком с вербальной интеграцией, поэтому я не могу говорить о ее эффективности. Но методы > Runge-Kutta отличаются от метода Эйлера более чем просто размером шага.

В сущности, они основаны на лучшем способе численного приближения производной. Точные детали уберут меня в данный момент. В общем, метод Рунге-Кутты четвертого порядка считается рабочей лошадкой схем интеграции, но он имеет некоторые недостатки. Он слегка диссипативен, т.е. К вашему расчету добавляется небольшой зависимый от первой производный член, который напоминает добавленное трение. Кроме того, он имеет фиксированный размер шага, который может привести к затруднению достижения желаемой точности. В качестве альтернативы вы можете использовать адаптивную схему шагов, например метод Runge-Kutta-Fehlberg, который дает точность пятого порядка для дополнительных 6 оценок функций. Это может значительно сократить время, необходимое для выполнения ваших вычислений, и повысить точность, как показано здесь.

Ответ 3

Если все просто берется вдоль линейного пути, не имеет значения, какой метод вы использовали, но когда происходит что-то интересное (то есть нелинейное), вам нужно смотреть внимательнее, рассматривая непосредственно нелинейность (верлет) или путем принятия меньших временных меток (rk4).