Я могу определить естественное преобразование в Haskell как:
h :: [a] -> Maybe a
h [] = Nothing
h (x:_) = Just x
и с функцией k:
k :: Char -> Int
k = ord
условие естественности выполняется из-за того, что:
h . fmap k == fmap k . h
Можно ли продемонстрировать аналогичным образом условие естественности функции List monad join? У меня возникли проблемы с пониманием того, что join, скажем, concat в частности, является естественным преобразованием.
Хорошо, посмотрим concat.
Во-первых, здесь реализация:
concat :: [[a]] -> [a]
concat = foldr (++) []
Это соответствует структуре вашего h, где Maybe заменяется на [] и, что более важно, [] заменяется на - синтаксис злоупотребления на мгновение - [[]].
[[]] также является функтором, но он не является экземпляром Functor таким образом, что его использует естественность. Перевод вашего примера напрямую не будет работать:
concat . fmap k =/= fmap k . concat
... потому что оба fmap работают только с внешними [].
И хотя [[]] гипотетически допустимый экземпляр Functor, вы не можете сделать это напрямую, по практическим соображениям, которые, вероятно, очевидны.
Однако вы можете восстановить правильный подъем так:
concat . (fmap . fmap) k == fmap k . concat
... где fmap . fmap эквивалентно реализации fmap для гипотетического экземпляра Functor для [[]].
Как связанное приложение, return неудобно по-разному: a -> f a является естественным преобразованием из заданного функтора тождества. Используя : [], тождество будет записано так:
(:[]) . ($) k == fmap k . (:[])
... где полностью избыточное ($) находится за тем, что было бы fmap по заданному функтору тождества.