Функторы могут быть ковариантными и контравариантными. Может ли эта ковариантная/контравариантная двойственность применяться к монадам?
Что-то вроде:
class Monad m where
return :: a -> m a
(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
class ContraMonad m where
return :: a -> m a
contrabind :: m a -> (b -> m a) -> m b
Имеет ли смысл класс ContraMonad? Любые примеры?
Ну, конечно, это можно определить, но я сомневаюсь, что это будет полезно.
Существует популярное высказывание, что "монада - это всего лишь моноид в категории эндофенторов". Это означает, прежде всего, что у нас есть категория endofunctors (что означает (ковариантные) функторы от какой-то категории к себе), и что еще, мы имеем некоторое умножение на этом endofunctors (в данном случае - композиция). И тогда монада вписывается в некоторые общие рамки, о которых нам сейчас не нужно беспокоиться. Дело в том, что "умножение" контравариантных функторов отсутствует. Состав двух ковариантных функторов снова является ковариантным функтором; но состав двух контравариантных функторов не является контравариантным функтором (скорее это ковариантный функтор, поэтому совершенно другой зверь).
Итак, "контравариантные монады" действительно не имеют смысла.
Контравариантный функтор является функтором из одной категории в его противоположную категорию, т.е. из одной категории в другую (хотя и тесно связанную). OTOH, монада - это, прежде всего, эндофуктор, т.е. Из одной категории в себя. Поэтому он не может быть контравариантным.
Этот вид материала всегда имеет тенденцию быть намного яснее, когда вы рассматриваете "фундаментальное математическое" определение монадов:
class Functor m => Monad m where
pure :: a -> m a
join :: m (m a) -> m a
Как вы видите, на самом деле нет никаких стрелок, которые могли бы развернуться в результате, как вы делали с contrabind. Конечно, есть
class Functor n => Comonad n where
extract :: n a -> a
duplicate :: n a -> n (n a)
но комонады все еще являются ковариантными функторами.
В отличие от монадов, аппликативы (моноидальные функторы) не обязательно должны быть эндофенторами, поэтому я считаю, что их можно оборачивать. Давайте начнем с "фундаментального" определения:
class Functor f => Monoidal f where
pureUnit :: () -> f ()
fzipWith :: ((a,b)->c) -> (f a, f b)->f c -- I avoid currying to make it clear what the arrows are.
(упражнение: определить производный экземпляр Applicative в терминах этого и наоборот)
Поворот вокруг
class Contravariant f => ContraApp f where
pureDisunit :: f () -> ()
fcontraunzip :: ((a,b)->c) -> f c->(f a, f b)
-- I'm not sure, maybe this should
-- be `f c -> Either (f a) (f b)` instead.
Не знаю, насколько это было бы полезно. pureDisunit, конечно, не полезно, потому что его единственная реализация всегда const ().
Попробуем написать очевидный экземпляр:
newtype Opp a b = Opp { getOpp :: b -> a }
instance Contravariant (Opp a) where
contramap f (Opp g) = Opp $ g . f
instance ContraApp (Opp a) where
pureDisunit = const ()
fcontraunzip z (Opp g)
= (Opp $ \a -> ???, Opp $ \b -> ???) -- `z` needs both `a` and `b`, can't get it!
Я не думаю, что это полезно, хотя вы можете определить его с чем-то вроде умной рекурсии, связанной с узлом.
Что может быть интереснее контравариантный сомоноидный функтор, но сейчас это становится слишком странным для меня.