Поиск LCM диапазона чисел

Ответ 1

Эта проблема интересна тем, что вам не требуется найти LCM произвольного набора чисел, вам предоставляется последовательный диапазон. Чтобы найти ответ, вы можете использовать вариант Sieve of Eratoshenes.

def RangeLCM(first, last):
    factors = range(first, last+1)
    for i in range(0, len(factors)):
        if factors[i] != 1:
            n = first + i
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j-first] = factors[j-first] / factors[i]
    return reduce(lambda a,b: a*b, factors, 1)

Второе замечание состоит в том, что этот алгоритм работает только в том случае, если начало диапазона равно 2 или меньше, поскольку оно не пытается вытеснить общие факторы ниже начала диапазона. Например, RangeLCM (10, 12) возвращает 1320 вместо правильного 660.

Третье замечание состоит в том, что никто не пытался ответить на этот ответ на любые другие ответы. Моя кишка сказала, что это улучшится по сравнению с решением LCM с грубой силой, поскольку диапазон стал больше. Тестирование показало, что моя кишка правильная, по крайней мере, это один раз.

Поскольку алгоритм не работает для произвольных диапазонов, я переписал его, чтобы предположить, что диапазон начинается с 1. В конце я удалил вызов reduce, так как было легче вычислить результат, поскольку факторы были генерироваться. Я считаю, что новая версия функции является более правильной и понятной.

def RangeLCM2(last):
    factors = range(last+1)
    result = 1
    for n in range(last+1):
        if factors[n] > 1:
            result *= factors[n]
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j] /= factors[n]
    return result

Ниже приведены некоторые сопоставления времени с оригиналом и решение, предложенное Joe Bebel, которое в моих тестах называется RangeEuclid.

>>> t=timeit.timeit
>>> t('RangeLCM.RangeLCM(1, 20)', 'import RangeLCM')
17.999292996735676
>>> t('RangeLCM.RangeEuclid(1, 20)', 'import RangeLCM')
11.199833288867922
>>> t('RangeLCM.RangeLCM2(20)', 'import RangeLCM')
14.256165588084514
>>> t('RangeLCM.RangeLCM(1, 100)', 'import RangeLCM')
93.34979585394194
>>> t('RangeLCM.RangeEuclid(1, 100)', 'import RangeLCM')
109.25695507389901
>>> t('RangeLCM.RangeLCM2(100)', 'import RangeLCM')
66.09684505991709

Для диапазона от 1 до 20, заданного в вопросе, алгоритм Евклида превосходит мои старые и новые ответы. В диапазоне от 1 до 100 вы можете видеть, что алгоритм на основе сита продвигается вперед, особенно оптимизированная версия.

Ответ 2

Ответ не требует каких-либо причудливых действий на всех с точки зрения факторинга или главных полномочий и, безусловно, не требует сита Эратосфена.

Вместо этого вы должны вычислить LCM одной пары, вычислив GCD с использованием алгоритма Евклида (который НЕ требует факторизации, а на самом деле значительно быстрее):

def lcm(a,b):
    gcd, tmp = a,b
    while tmp != 0:
        gcd,tmp = tmp, gcd % tmp
    return a*b/gcd

тогда вы можете найти общий LCM, который уменьшает массив, используя указанную выше функцию lcm():

reduce(lcm, range(1,21))

Ответ 3

Там есть быстрое решение, если диапазон от 1 до N.

Главное наблюдение состоит в том, что если n (< N) имеет первую факторизацию p_1^a_1 * p_2^a_2 * ... p_k * a_k, то он будет вносить те же самые коэффициенты в LCM как p_1^a_1 и p_2^a_2,... p_k^a_k. И каждая из этих мощностей также находится в диапазоне от 1 до N. Таким образом, нам нужно рассмотреть только наивысшие чистые простые степени меньше N.

Например, для 20 имеем

2^4 = 16 < 20
3^2 = 9  < 20
5^1 = 5  < 20
7
11
13
17
19

Умножая все эти простые степени вместе, получаем требуемый результат

2*2*2*2*3*3*5*7*11*13*17*19 = 232792560

Итак, в псевдокоде:

def lcm_upto(N):
  total = 1;
  foreach p in primes_less_than(N):
    x=1;
    while x*p <= N:
      x=x*p;
    total = total * x
  return total

Теперь вы можете настроить внутренний цикл для работы немного по-другому, чтобы получить большую скорость, и вы можете предварительно вычислить функцию primes_less_than(N).

EDIT:

В связи с недавним повышением я решил пересмотреть это, чтобы посмотреть, как прошло сравнение скорости с другими перечисленными алгоритмами.

Сроки для диапазона 1-160 с итерациями 10 тыс. против методов Джо Бейберса и Марка Рэнсома заключаются в следующем:

Joes: 1.85s Знаки: 3.26s Шахта: 0,33 с

Здесь находится лог-лог-график с результатами до 300.

Код для моего теста можно найти здесь:

import timeit


def RangeLCM2(last):
    factors = range(last+1)
    result = 1
    for n in range(last+1):
        if factors[n] > 1:
            result *= factors[n]
            for j in range(2*n, last+1, n):
                factors[j] /= factors[n]
    return result


def lcm(a,b):
    gcd, tmp = a,b
    while tmp != 0:
        gcd,tmp = tmp, gcd % tmp
    return a*b/gcd

def EuclidLCM(last):
    return reduce(lcm,range(1,last+1))

primes = [
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 
 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 
 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 
 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 
 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 
 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 
 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 
 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 
 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 
 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 
 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 
 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 
 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 
 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 
 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 
 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 
 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 ]

def FastRangeLCM(last):
    total = 1
    for p in primes:
        if p>last:
            break
        x = 1
        while x*p <= last:
            x = x * p
        total = total * x
    return total


print RangeLCM2(20)
print EculidLCM(20)
print FastRangeLCM(20)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(20)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(20)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(20)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(40)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(40)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(40)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(60)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(60)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(60)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(80)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(80)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(80)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(100)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(100)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(100)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(120)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(120)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(120)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(140)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(140)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(140)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

print timeit.Timer( 'RangeLCM2(160)', "from __main__ import RangeLCM2").timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'EuclidLCM(160)', "from __main__ import EuclidLCM" ).timeit(number=10000)
print timeit.Timer( 'FastRangeLCM(160)', "from __main__ import FastRangeLCM" ).timeit(number=10000)

Ответ 4

Однострочный в Haskell.

wideLCM = foldl lcm 1

Это то, что я использовал для своей собственной проблемы Project Euler 5.

Ответ 5

В Haskell:

listLCM xs =  foldr (lcm) 1 xs

Что вы можете передать, например:

*Main> listLCM [1..10]
2520
*Main> listLCM [1..2518]
266595767785593803705412270464676976610857635334657316692669925537787454299898002207461915073508683963382517039456477669596355816643394386272505301040799324518447104528530927421506143709593427822789725553843015805207718967822166927846212504932185912903133106741373264004097225277236671818323343067283663297403663465952182060840140577104161874701374415384744438137266768019899449317336711720217025025587401208623105738783129308128750455016347481252967252000274360749033444720740958140380022607152873903454009665680092965785710950056851148623283267844109400949097830399398928766093150813869944897207026562740359330773453263501671059198376156051049807365826551680239328345262351788257964260307551699951892369982392731547941790155541082267235224332660060039217194224518623199770191736740074323689475195782613618695976005218868557150389117325747888623795360149879033894667051583457539872594336939497053549704686823966843769912686273810907202177232140876251886218209049469761186661055766628477277347438364188994340512556761831159033404181677107900519850780882430019800537370374545134183233280000

Ответ 6

LCM одного или нескольких чисел является произведением всех различных простых множителей во всех числах, каждое простое с степенью максимума всех степеней, к которым это простое число появляется в числах, которые принимают LCM.

Скажем 900 = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2, 26460 = 2 ^ 2 * 3 ^ 3 * 5 ^ 1 * 7 ^ 2. Максимальная мощность 2 равна 3, максимальная мощность 3 равна 3, максимальная мощность 5 равна 1, максимальная мощность 7 равна 2, а максимальная мощность любого старшего числа равна 0. Таким образом, LCM: 264600 = 2 ^ 3 * 3 ^ 3 * 5 ^ 2 * 7 ^ 2.

Ответ 7

print "LCM of 4 and 5 = ".LCM(4,5)."\n";

sub LCM {
    my ($a,$b) = @_;    
    my ($af,$bf) = (1,1);   # The factors to apply to a & b

    # Loop and increase until A times its factor equals B times its factor
    while ($a*$af != $b*$bf) {
        if ($a*$af>$b*$bf) {$bf++} else {$af++};
    }
    return $a*$af;
}

Ответ 8

Алгоритм в Haskell. Это язык, который я считаю в настоящее время для алгоритмического мышления. Это может показаться странным, сложным и непривлекательным - добро пожаловать в Haskell!

primes :: (Integral a) => [a]
--implementation of primes is to be left for another day.

primeFactors :: (Integral a) => a -> [a]
primeFactors n = go n primes where
    go n [email protected](p : pt) =
        if q < 1 then [] else
        if r == 0 then p : go q ps else
        go n pt
        where (q, r) = quotRem n p

multiFactors :: (Integral a) => a -> [(a, Int)]
multiFactors n = [ (head xs, length xs) | xs <- group $ primeFactors $ n ]

multiProduct :: (Integral a) => [(a, Int)] -> a
multiProduct xs = product $ map (uncurry (^)) $ xs

mergeFactorsPairwise [] bs = bs
mergeFactorsPairwise as [] = as
mergeFactorsPairwise [email protected]((an, am) : _) [email protected]((bn, bm) : _) =
    case compare an bn of
        LT -> (head a) : mergeFactorsPairwise (tail a) b
        GT -> (head b) : mergeFactorsPairwise a (tail b)
        EQ -> (an, max am bm) : mergeFactorsPairwise (tail a) (tail b)

wideLCM :: (Integral a) => [a] -> a
wideLCM nums = multiProduct $ foldl mergeFactorsPairwise [] $ map multiFactors $ nums

Ответ 9

Здесь мой Python наносит ему удар:

#!/usr/bin/env python

from operator import mul

def factor(n):
    factors = {}
    i = 2 
    while i <= n and n != 1:
        while n % i == 0:
            try:
                factors[i] += 1
            except KeyError:
                factors[i] = 1
            n = n / i
        i += 1
    return factors

base = {}
for i in range(2, 2000):
    for f, n in factor(i).items():
        try:
            base[f] = max(base[f], n)
        except KeyError:
            base[f] = n

print reduce(mul, [f**n for f, n in base.items()], 1)

Шаг первый получает простые множители числа. Шаг второй строит хеш-таблицу максимального количества раз, когда каждый фактор был замечен, а затем умножает их все вместе.

Ответ 10

Это, пожалуй, самый чистый, самый короткий ответ (как с точки зрения строк кода), который я видел до сих пор.

def gcd(a,b): return b and gcd(b, a % b) or a
def lcm(a,b): return a * b / gcd(a,b)

n = 1
for i in xrange(1, 21):
    n = lcm(n, i)

источник: http://www.s-anand.net/euler.html

Ответ 11

Вот мой ответ в JavaScript. Сначала я подошел к этому из простых чисел и разработал хорошую функцию многоразового кода, чтобы найти простые числа, а также найти основные факторы, но в конце концов решил, что этот подход был проще.

В моем ответе нет ничего уникального, что не было опубликовано выше, это просто в Javascript, который я не видел конкретно.

//least common multipe of a range of numbers
function smallestCommons(arr) {
   arr = arr.sort();
   var scm = 1; 
   for (var i = arr[0]; i<=arr[1]; i+=1) { 
        scm =  scd(scm, i); 
    }
  return scm;
}


//smallest common denominator of two numbers (scd)
function scd (a,b) {
     return a*b/gcd(a,b);
}


//greatest common denominator of two numbers (gcd)
function gcd(a, b) {
    if (b === 0) {  
        return a;
    } else {
       return gcd(b, a%b);
    }
}       

smallestCommons([1,20]);

Ответ 12

Здесь мое решение для javascript, надеюсь, вам будет легко следовать:

function smallestCommons(arr) {
  var min = Math.min(arr[0], arr[1]);
  var max = Math.max(arr[0], arr[1]);

  var smallestCommon = min * max;

  var doneCalc = 0;

  while (doneCalc === 0) {
    for (var i = min; i <= max; i++) {
      if (smallestCommon % i !== 0) {
        smallestCommon += max;
        doneCalc = 0;
        break;
      }
      else {
        doneCalc = 1;
      }
    }
  }

  return smallestCommon;
}

Ответ 13

Расширяя комментарий @Alexander, я хотел бы указать, что если вы можете умножить числа на свои простые числа, удалите дубликаты, а затем размножайтесь, вы получите ответ.

Например, 1-5 имеют простые коэффициенты 2,3,2,2,5. Удалите дублированный "2" из списка коэффициентов "4", и у вас есть 2,2,3,5. Умножая их вместе, получаем 60, что является вашим ответом.

Ссылка Wolfram, представленная в предыдущем комментарии, http://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html переходит в более формальный подход, но короткая версия выше.

Приветствия.