Стабильная топологическая сортировка

Ответ 1

Одна из возможностей заключается в вычислении лексикографически наименее топологического порядка. Алгоритм состоит в том, чтобы поддерживать приоритетную очередь, содержащую узлы, чья эффективная степень (по не обрабатываемым узлам) равна нулю. Неоднократно выгружайте node с наименьшей меткой, добавляйте ее в порядок, уменьшайте эффективные в градусах своих преемников, ставьте в очередь те, которые теперь имеют нулевую степень. Это дает 1234567890 на примере btilly, но, как правило, не сводит к минимуму инверсии.

Свойства, которые мне нравятся в этом алгоритме, заключаются в том, что вывод имеет чистое определение, явно удовлетворяемое только одним порядком, и что всякий раз, когда после node y появляется инверсия (node x, хотя x < y) x наибольшая зависимость больше, чем у наибольшей зависимости, что является "оправданием" видов для инвертирования x и y. Следствием является то, что при отсутствии ограничений младший порядок lex упорядочен по порядку.

Ответ 2

Проблема двояка:

• Топологическая сортировка
• Стабильная сортировка

После многих ошибок и испытаний я придумал простой алгоритм, похожий на сортировку пузырьков, но с критериями топологического порядка.

Я тщательно протестировал алгоритм на полных графиках с полными комбинациями краев, поэтому его можно считать доказанным.

Циклические зависимости допускаются и разрешаются в соответствии с первоначальным порядком элементов в последовательности. Полученный порядок является идеальным и представляет собой максимально возможное совпадение.

Вот исходный код в С#:

static class TopologicalSort
{
    /// <summary>
    /// Delegate definition for dependency function.
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T">The type.</typeparam>
    /// <param name="a">The A.</param>
    /// <param name="b">The B.</param>
    /// <returns>
    /// Returns <c>true</c> when A depends on B. Otherwise, <c>false</c>.
    /// </returns>
    public delegate bool TopologicalDependencyFunction<in T>(T a, T b);

    /// <summary>
    /// Sorts the elements of a sequence in dependency order according to comparison function with Gapotchenko algorithm.
    /// The sort is stable. Cyclic dependencies are tolerated and resolved according to original order of elements in sequence.
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T">The type of the elements of source.</typeparam>
    /// <param name="source">A sequence of values to order.</param>
    /// <param name="dependencyFunction">The dependency function.</param>
    /// <param name="equalityComparer">The equality comparer.</param>
    /// <returns>The ordered sequence.</returns>
    public static IEnumerable<T> StableOrder<T>(
        IEnumerable<T> source,
        TopologicalDependencyFunction<T> dependencyFunction,
        IEqualityComparer<T> equalityComparer)
    {
        if (source == null)
            throw new ArgumentNullException("source");
        if (dependencyFunction == null)
            throw new ArgumentNullException("dependencyFunction");
        if (equalityComparer == null)
            throw new ArgumentNullException("equalityComparer");

        var graph = DependencyGraph<T>.TryCreate(source, dependencyFunction, equalityComparer);
        if (graph == null)
            return source;

        var list = source.ToList();
        int n = list.Count;

    Restart:
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < i; ++j)
            {
                if (graph.DoesXHaveDirectDependencyOnY(list[j], list[i]))
                {
                    bool jOnI = graph.DoesXHaveTransientDependencyOnY(list[j], list[i]);
                    bool iOnJ = graph.DoesXHaveTransientDependencyOnY(list[i], list[j]);

                    bool circularDependency = jOnI && iOnJ;

                    if (!circularDependency)
                    {
                        var t = list[i];
                        list.RemoveAt(i);

                        list.Insert(j, t);
                        goto Restart;
                    }
                }
            }
        }

        return list;
    }

    /// <summary>
    /// Sorts the elements of a sequence in dependency order according to comparison function with Gapotchenko algorithm.
    /// The sort is stable. Cyclic dependencies are tolerated and resolved according to original order of elements in sequence.
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T">The type of the elements of source.</typeparam>
    /// <param name="source">A sequence of values to order.</param>
    /// <param name="dependencyFunction">The dependency function.</param>
    /// <returns>The ordered sequence.</returns>
    public static IEnumerable<T> StableOrder<T>(
        IEnumerable<T> source,
        TopologicalDependencyFunction<T> dependencyFunction)
    {
        return StableOrder(source, dependencyFunction, EqualityComparer<T>.Default);
    }

    sealed class DependencyGraph<T>
    {
        private DependencyGraph()
        {
        }

        public IEqualityComparer<T> EqualityComparer
        {
            get;
            private set;
        }

        public sealed class Node
        {
            public int Position
            {
                get;
                set;
            }

            List<T> _Children = new List<T>();

            public IList<T> Children
            {
                get
                {
                    return _Children;
                }
            }
        }

        public IDictionary<T, Node> Nodes
        {
            get;
            private set;
        }

        public static DependencyGraph<T> TryCreate(
            IEnumerable<T> source,
            TopologicalDependencyFunction<T> dependencyFunction,
            IEqualityComparer<T> equalityComparer)
        {
            var list = source as IList<T>;
            if (list == null)
                list = source.ToArray();

            int n = list.Count;
            if (n < 2)
                return null;

            var graph = new DependencyGraph<T>();
            graph.EqualityComparer = equalityComparer;
            graph.Nodes = new Dictionary<T, Node>(n, equalityComparer);

            bool hasDependencies = false;

            for (int position = 0; position < n; ++position)
            {
                var element = list[position];

                Node node;
                if (!graph.Nodes.TryGetValue(element, out node))
                {
                    node = new Node();
                    node.Position = position;
                    graph.Nodes.Add(element, node);
                }

                foreach (var anotherElement in list)
                {
                    if (equalityComparer.Equals(element, anotherElement))
                        continue;

                    if (dependencyFunction(element, anotherElement))
                    {
                        node.Children.Add(anotherElement);
                        hasDependencies = true;
                    }
                }
            }

            if (!hasDependencies)
                return null;

            return graph;
        }

        public bool DoesXHaveDirectDependencyOnY(T x, T y)
        {
            Node node;
            if (Nodes.TryGetValue(x, out node))
            {
                if (node.Children.Contains(y, EqualityComparer))
                    return true;
            }
            return false;
        }

        sealed class DependencyTraverser
        {
            public DependencyTraverser(DependencyGraph<T> graph)
            {
                _Graph = graph;
                _VisitedNodes = new HashSet<T>(graph.EqualityComparer);
            }

            DependencyGraph<T> _Graph;
            HashSet<T> _VisitedNodes;

            public bool DoesXHaveTransientDependencyOnY(T x, T y)
            {
                if (!_VisitedNodes.Add(x))
                    return false;

                Node node;
                if (_Graph.Nodes.TryGetValue(x, out node))
                {
                    if (node.Children.Contains(y, _Graph.EqualityComparer))
                        return true;

                    foreach (var i in node.Children)
                    {
                        if (DoesXHaveTransientDependencyOnY(i, y))
                            return true;
                    }
                }

                return false;
            }
        }

        public bool DoesXHaveTransientDependencyOnY(T x, T y)
        {
            var traverser = new DependencyTraverser(this);
            return traverser.DoesXHaveTransientDependencyOnY(x, y);
        }
    }
}

И небольшое примерное приложение:

class Program
{
    static bool DependencyFunction(char a, char b)
    {
        switch (a + " depends on " + b)
        {
            case "A depends on B":
                return true;

            case "B depends on D":
                return true;

            default:
                return false;
        }

    }

    static void Main(string[] args)
    {
        var source = "ABCDEF";
        var result = TopologicalSort.StableOrder(source.ToCharArray(), DependencyFunction);
        Console.WriteLine(string.Concat(result));
    }
}

Учитывая входные элементы {A, B, C, D, E, F}, где A зависит от B и B зависит от D, выходной результат {D, B, A, C, E, F}.

UPDATE: Я написал небольшую статью о стабильной топологической задаче сортировки, алгоритме и его проверке. Надеюсь, что это дает больше объяснений и полезно для разработчиков и исследователей.

Ответ 3

У вас недостаточно критериев для указания того, что вы ищете. Например, рассмотрим граф с двумя направленными компонентами.

1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5
6 -> 7 -> 8 -> 9 -> 0

Какой из следующих видов вы предпочитаете?

6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

Первые результаты разрыва всех связей, поместив самый низкий node как можно ближе к заголовку списка. Таким образом, 0 побед. Второй результат заключается в попытке минимизировать количество раз, когда A < B и B появляются перед A в топологическом типе. Оба являются разумными ответами. Второй, вероятно, более приятный.

Я могу легко создать алгоритм для первого. Для начала возьмите самый низкий node и выполните поиск в ширину, чтобы найти расстояние до кратчайшего корня node. Если есть галстук, определите набор узлов, которые могут отображаться на таком кратчайшем пути. Возьмите самый низкий node в этом наборе и поместите наилучший путь от него к корню, а затем поместите наилучший возможный путь из самого низкого node, с которым мы начали с него. Найдите следующий самый низкий node, который еще не находится в топологическом порядке, и продолжайте.

Создание алгоритма для более приятной версии кажется намного сложнее. См. http://en.wikipedia.org/wiki/Feedback_arc_set для связанной проблемы, которая решительно свидетельствует о том, что она фактически является NP-полной.

Ответ 4

Интерпретация "стабильной топологической сортировки" как линеаризации DAG, которая варьируется в линеаризации, где топологический порядок не имеет значения, сортируется лексикографически. Это можно решить с помощью метода DFS линеаризации с изменением того, что узлы посещаются в лексикографическом порядке.

У меня есть класс Python Digraph с методом линеаризации, который выглядит следующим образом:

def linearize_as_needed(self):
    if self.islinearized:
        return

    # Algorithm: DFS Topological sort
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting#Depth-first_search

    temporary = set()
    permanent = set()

    L = [ ]

    def visit(vertices):
        for vertex in sorted(vertices, reverse=True):
            if vertex in permanent:
                pass
            elif vertex in temporary:
                raise NotADAG
            else:
                temporary.add(vertex)

                if vertex in self.arrows:
                    visit(self.arrows[vertex])

                L.append(vertex)

                temporary.remove(vertex)
                permanent.add(vertex)

        # print('visit: {} => {}'.format(vertices, L))

    visit(self.vertices)
    self._linear = list(reversed(L))
    self._iter = iter(self._linear)
    self.islinearized = True

Здесь

self.vertices

- множество всех вершин, а

self.arrows

имеет отношение смежности в виде бита левых узлов к наборам правых узлов.

Ответ 5

Здесь простой итерационный подход к топологической сортировке: постоянно удаляйте node с степенью 0 вместе с ее ребрами.

Чтобы достичь стабильной версии, просто измените ее на: постоянно удаляйте наименьший индекс node со степенью 0 вместе с его ребрами.

В псевдо-питоне:

# N is the number of nodes, labeled 0..N-1
# edges[i] is a list of nodes j, corresponding to edges (i, j)

inDegree = [0] * N
for i in range(N):
   for j in edges[i]:
      inDegree[j] += 1

# Now we maintain a "frontier" of in-degree 0 nodes.
# We take the smallest one until the frontier is exhausted.
# Note: You could use a priority queue / heap instead of a list,
#       giving O(NlogN) runtime. This naive implementation is
#       O(N^2) worst-case (when the order is very ambiguous).

frontier = []
for i in range(N):
    if inDegree[i] == 0:
        frontier.append(i)

order = []
while frontier:
    i = min(frontier)
    frontier.remove(i)
    for j in edges[i]:
       inDegree[j] -= 1
       if inDegree[j] == 0:
           frontier.append(j)

 # Done - order is now a list of the nodes in topological order,
 # with ties broken by original order in the list.