Если вы хотите вытащить элемент из структуры данных, вы должны указать его индекс. Но значение индекса зависит от самой структуры данных.
class Indexed f where
type Ix f
(!) :: f a -> Ix f -> Maybe a -- indices can be out of bounds
Например...
Элементы в списке имеют числовые позиции.
data Nat = Z | S Nat
instance Indexed [] where
type Ix [] = Nat
[] ! _ = Nothing
(x:_) ! Z = Just x
(_:xs) ! (S n) = xs ! n
Элементы в двоичном дереве идентифицируются по последовательности направлений.
data Tree a = Leaf | Node (Tree a) a (Tree a)
data TreeIx = Stop | GoL TreeIx | GoR TreeIx -- equivalently [Bool]
instance Indexed Tree where
type Ix Tree = TreeIx
Leaf ! _ = Nothing
Node l x r ! Stop = Just x
Node l x r ! GoL i = l ! i
Node l x r ! GoR j = r ! j
Поиск чего-то в розовом дереве влечет за собой постепенное снижение уровней по одному, выбирая дерево из леса на каждом уровне.
data Rose a = Rose a [Rose a] -- I don't even like rosé
data RoseIx = Top | Down Nat RoseIx -- equivalently [Nat]
instance Indexed Rose where
type Ix Rose = RoseIx
Rose x ts ! Top = Just x
Rose x ts ! Down i j = ts ! i >>= (! j)
Кажется, что индекс типа продукта представляет собой сумму (указывающую, какой рычаг продукта следует посмотреть), индекс элемента является типом единицы, а индекс вложенного типа - это продукт (рассказывающий вы, где искать в вложенном типе). Суммы, кажется, единственные, которые никак не связаны с производным . Индекс суммы также является суммой - он сообщает вам, какая часть суммы, которую пользователь надеется найти, и если это ожидание нарушено, вы останетесь с горсткой Nothing.
Фактически у меня был некоторый успех, реализующий ! в общем случае для функторов, определенных как неподвижная точка полиномиального бифунтера. Я не буду вдаваться в подробности, но Fix f можно сделать экземпляром Indexed, когда f является экземпляром Indexed2...
class Indexed2 f where
type IxA f
type IxB f
ixA :: f a b -> IxA f -> Maybe a
ixB :: f a b -> IxB f -> Maybe b
... и, оказывается, вы можете определить экземпляр Indexed2 для каждого из бифуркационных строительных блоков.
Но что же происходит? Какова основная взаимосвязь между функтором и его индексом? Как это соотносится с производной функтора? Нужно ли понимать теорию теории контейнеров (чего я не знаю), чтобы ответить на этот вопрос?
