Определение пересечения треугольника и плоскости

У меня есть один треугольник и плоскость (в трехмерном пространстве). Как бы вычислить отрезок линии, где два креста, если нет пересечения, тогда мне нужно обнаружить этот случай.

Конечный результат, который я ищу, - это два 3-мерных вектора, которые определяют начальную и конечную точки сегмента линии.

Чтобы немного помочь вам, я уже вычислил луч пересечения между плоскостью лица и плоскостью, мне просто нужно найти конечные точки, чтобы закрепить этот луч в сегмент линии.

Для тех, кто любит читать вещи в коде:

Face face;        //a face, defined by 3 points
Plane plane;      //a plane, defined by a normal vector and a distance
Ray intersection; //a ray, defined by a point and a direction, initialised to the intersection of the face plane and the face

Segment s = CalculateSegment(face, plane, intersection); //this method needs defining

Ответ 1

Вот несколько предложенных псевдокодов. Простая версия первая, более надежная версия позже (только для того, чтобы помочь отделить принцип от неудобств). Простая версия:

// Assume the plane is given as the equation dot(N,X) + d = 0, where N is a (not
// neccessarily normalized) plane normal, and d is a scalar. Any way the plane is given -
// DistFromPlane should just let the input vector into the plane equation.

vector3d planeN;
float planeD;

float DistFromPlane( vector3d P)
{
// if N is not normalized this is *not* really the distance, 
// but the computations work just the same.
    return dot(planeN,P) + planeD;
}

bool GetSegmentPlaneIntersection( vector3d P1, vector3d P2, vector3d& outP)
{
  float d1 = DistFromPlane(P1),
        d2 = DistFromPlane(P2);

  if (d1*d2 > 0)  // points on the same side of plane
     return false;

  float t = d1 / (d1 - d2); // 'time' of intersection point on the segment
  outP = P1 + t * (P2 - P1);

  return true;
}

void TrianglePlaneIntersection(vector3d triA, vector3d triB, vector3d triC,
                               vector3dArray& outSegTips)
{
   vector3d IntersectionPoint;
   if( GetSegmentPlaneIntersection( triA, triB, IntersectionPoint))
     outSegTips.Add(IntersectionPoint);

   if( GetSegmentPlaneIntersection( triB, triC, IntersectionPoint))
     outSegTips.Add(IntersectionPoint);

   if( GetSegmentPlaneIntersection( triC, triA, IntersectionPoint))
     outSegTips.Add(IntersectionPoint);
}

Теперь добавим некоторую надежность:
[Edit: Добавлено явное рассмотрение случая одной вершины на плоскости]

vector3d planeN;
 float planeD;

float DistFromPlane( vector3d P)
{
    return dot(planeN,P) + planeD;
}

void GetSegmentPlaneIntersection( vector3d P1, vector3d P2, vector3dArray& outSegTips)
{
  float d1 = DistFromPlane(P1),
        d2 = DistFromPlane(P2);

  bool  bP1OnPlane = (abs(d1) < eps),
        bP2OnPlane = (abs(d2) < eps);

  if (bP1OnPlane)
     outSegTips.Add(P1);

  if (bP2OnPlane)
     outSegTips.Add(P2);

  if (bP1OnPlane && bP2OnPlane)
     return;

  if (d1*d2 > eps)  // points on the same side of plane
     return;

  float t = d1 / (d1 - d2); // 'time' of intersection point on the segment
  outSegTips.Add( P1 + t * (P2 - P1) );
}

void TrianglePlaneIntersection(vector3d triA, vector3d triB, vector3d triC,
                               vector3dArray& outSegTips)
{
   GetSegmentPlaneIntersection( triA, triB, outSegTips));
   GetSegmentPlaneIntersection( triB, triC, outSegTips));
   GetSegmentPlaneIntersection( triC, triA, outSegTips));

   RemoveDuplicates(outSegTips);  // not listed here - obvious functionality 
}

Надеюсь, это дает представление, но все же существует немало потенциальных оптимизаций. Если, например, вы вычисляете эти пересечения для каждого треугольника в большой сетке, вы можете вычислять и кэшировать DistanceFromPlane один раз на вершину и просто извлекать его для каждого края, в котором участвует вершина. Также может быть более продвинутое кеширование, в зависимости от вашего сценария и представления данных.

Ответ 2

Подключите 3 точки к уравнению плоскости (определяется четырьмя параметрами, которые вы указали a, b, c, d), и определите, какие пары находятся на противоположных сторонах плоскости.

Для уравнения плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C - нормальная (единичная длина), а D - расстояние до начала IIRC, вы вставляете точки (x, y, z) и видите, является ли этот результат положительным или отрицательным. Он будет равен нулю для точек на плоскости, и знак скажет вам, с какой стороны находится точка, когда результат не равен 0. Поэтому выберите пары точек на противоположных сторонах (их будет не более 2) и вычислите пересечение эти 2 сегмента с плоскостью, используя стандартную формулу пересечения лучей/плоскости, которая ускользает от меня прямо сейчас. Это будут 2 точки, которые образуют сегмент, который вы ищете.

ИЗМЕНИТЬ Подумайте об этом, значения, которые вы получаете от подключения точек в уравнение плоскости, должны быть полезны для интерполяции между парами точек, чтобы получить пересечение сегментов с плоскостью.

Len Fn = Axn + Byn + C * zn + D - результат забивания точки n. Тогда предположим, что F1 = -4 и F2 = 8. Таким образом, точки P1 и P2 находятся на противоположных сторонах плоскости. Мы также будем иметь P = P1 * 2/3 + P2 * 1/3 - точка пересечения от P1 до P2 с плоскостью. Обобщая это на правильную формулу, остается как изгоняющий.

Ответ 3

Это зависит от того, какие библиотеки у вас есть. Я создал свою собственную библиотеку геометрии, которая может вычислить пересечение линии с плоскостью. В этом случае вычислите три точки пересечения трех ребер треугольника и затем вычислите, какая из них лежит между вершинами. Это может быть 0 (без пересечения), или 2, который вам нужен. (Существуют особые случаи, когда две точки совпадают - точка треугольника).

Ответ 4

Найдите пересечение каждого отрезка, ограничивающего треугольник с плоскостью. Объедините идентичные точки, затем

если существует 0 пересечений, нет пересечения
Если существует 1 пересечение (т.е. вы нашли два, но они были идентичны с точностью до допуска), у вас есть точка треугольника, касающаяся плоскости
если 2 точки, то сегмент линии между ними является пересечением

следующий шаг, выполните поиск SO для алгоритмов пересечения сегментов линии (или просто используйте тот, который предоставляется вашей каркасом)...