Ответ 1

Сроки:

Я сам провел тесты времени, и результаты удивили меня (поэтому, почему я задал этот вопрос в первую очередь). Короче говоря, при стандартном компиляции laderman на ~ 225% быстрее, но с флагом оптимизации -03 он на 50% медленнее! Мне приходилось добавлять случайный элемент в матрицу каждый раз во время флага -O3, или компилятор полностью оптимизировал простейшее умножение, принимая время с точностью до нуля. Поскольку алгоритм laderman был больно проверять/проверять дважды, я отправлю полный код ниже для потомков.

Технические характеристики: Ubuntu 12.04, Dell Prevision T1600, gcc. Процентная разница в таймингах:

• g++ [2.22, 2.23, 2.27]
• g++ -O3 [-0.48, -0.49, -0.48]
• g++ -funroll-loops -O3 [-0.48, -0.48, -0.47]

Код бенчмаркинга вместе с реализацией Laderman:

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;

void simple_mul(const double a[3][3], 
        const double b[3][3],
        double c[3][3]) {
  int i,j,m,n;
  for(i=0;i<3;i++) {
    for(j=0;j<3;j++) {
      c[i][j] = 0;
      for(m=0;m<3;m++) 
    c[i][j] += a[i][m]*b[m][j];
    }
  }
}

void laderman_mul(const double a[3][3], 
           const double b[3][3],
           double c[3][3]) {

   double m[24]; // not off by one, just wanted to match the index from the paper

   m[1 ]= (a[0][0]+a[0][1]+a[0][2]-a[1][0]-a[1][1]-a[2][1]-a[2][2])*b[1][1];
   m[2 ]= (a[0][0]-a[1][0])*(-b[0][1]+b[1][1]);
   m[3 ]= a[1][1]*(-b[0][0]+b[0][1]+b[1][0]-b[1][1]-b[1][2]-b[2][0]+b[2][2]);
   m[4 ]= (-a[0][0]+a[1][0]+a[1][1])*(b[0][0]-b[0][1]+b[1][1]);
   m[5 ]= (a[1][0]+a[1][1])*(-b[0][0]+b[0][1]);
   m[6 ]= a[0][0]*b[0][0];
   m[7 ]= (-a[0][0]+a[2][0]+a[2][1])*(b[0][0]-b[0][2]+b[1][2]);
   m[8 ]= (-a[0][0]+a[2][0])*(b[0][2]-b[1][2]);
   m[9 ]= (a[2][0]+a[2][1])*(-b[0][0]+b[0][2]);
   m[10]= (a[0][0]+a[0][1]+a[0][2]-a[1][1]-a[1][2]-a[2][0]-a[2][1])*b[1][2];
   m[11]= a[2][1]*(-b[0][0]+b[0][2]+b[1][0]-b[1][1]-b[1][2]-b[2][0]+b[2][1]);
   m[12]= (-a[0][2]+a[2][1]+a[2][2])*(b[1][1]+b[2][0]-b[2][1]);
   m[13]= (a[0][2]-a[2][2])*(b[1][1]-b[2][1]);
   m[14]= a[0][2]*b[2][0];
   m[15]= (a[2][1]+a[2][2])*(-b[2][0]+b[2][1]);
   m[16]= (-a[0][2]+a[1][1]+a[1][2])*(b[1][2]+b[2][0]-b[2][2]);
   m[17]= (a[0][2]-a[1][2])*(b[1][2]-b[2][2]);
   m[18]= (a[1][1]+a[1][2])*(-b[2][0]+b[2][2]);
   m[19]= a[0][1]*b[1][0];
   m[20]= a[1][2]*b[2][1];
   m[21]= a[1][0]*b[0][2];
   m[22]= a[2][0]*b[0][1];
   m[23]= a[2][2]*b[2][2];

  c[0][0] = m[6]+m[14]+m[19];
  c[0][1] = m[1]+m[4]+m[5]+m[6]+m[12]+m[14]+m[15];
  c[0][2] = m[6]+m[7]+m[9]+m[10]+m[14]+m[16]+m[18];
  c[1][0] = m[2]+m[3]+m[4]+m[6]+m[14]+m[16]+m[17];
  c[1][1] = m[2]+m[4]+m[5]+m[6]+m[20];
  c[1][2] = m[14]+m[16]+m[17]+m[18]+m[21];
  c[2][0] = m[6]+m[7]+m[8]+m[11]+m[12]+m[13]+m[14];
  c[2][1] = m[12]+m[13]+m[14]+m[15]+m[22];
  c[2][2] = m[6]+m[7]+m[8]+m[9]+m[23];    
}

int main() {
  int N = 1000000000;
  double A[3][3], C[3][3];
  std::clock_t t0,t1;
  timespec tm0, tm1;

  A[0][0] = 3/5.; A[0][1] = 1/5.; A[0][2] = 2/5.;
  A[1][0] = 3/7.; A[1][1] = 1/7.; A[1][2] = 3/7.;
  A[2][0] = 1/3.; A[2][1] = 1/3.; A[2][2] = 1/3.;

  t0 = std::clock();
  for(int i=0;i<N;i++) {
    // A[0][0] = double(rand())/RAND_MAX; // Keep this in for -O3
    simple_mul(A,A,C);
  }
  t1 = std::clock();
  double tdiff_simple = (t1-t0)/1000.;

  cout << C[0][0] << ' ' << C[0][1] << ' ' << C[0][2] << endl;
  cout << C[1][0] << ' ' << C[1][1] << ' ' << C[1][2] << endl;
  cout << C[2][0] << ' ' << C[2][1] << ' ' << C[2][2] << endl;
  cout << tdiff_simple << endl;
  cout << endl;

  t0 = std::clock();
  for(int i=0;i<N;i++) {
    // A[0][0] = double(rand())/RAND_MAX; // Keep this in for -O3
    laderman_mul(A,A,C);
  }
  t1 = std::clock();
  double tdiff_laderman = (t1-t0)/1000.;

  cout << C[0][0] << ' ' << C[0][1] << ' ' << C[0][2] << endl;
  cout << C[1][0] << ' ' << C[1][1] << ' ' << C[1][2] << endl;
  cout << C[2][0] << ' ' << C[2][1] << ' ' << C[2][2] << endl;
  cout << tdiff_laderman << endl;
  cout << endl;

  double speedup = (tdiff_simple-tdiff_laderman)/tdiff_laderman;
  cout << "Approximate speedup: " << speedup << endl;

  return 0;
}

Ответ 2

Ключ - овладение набором команд на вашей платформе. Это зависит от вашей платформы. Существует несколько методов, и когда вы, как правило, нуждаетесь в максимальной возможной производительности, ваш компилятор будет поставляться с инструментами профилирования, некоторые из которых имеют встроенный оптимизационный намек. Для тончайших операций посмотрите на выход ассемблера и посмотрите, есть ли какие-либо улучшения на этом уровне.

Одновременная команда нескольких команд данных выполняет одну и ту же операцию над несколькими параллельными операндами. Чтобы вы могли взять

double a,b,c,d;
double w = d + a; 
double x = a + b;
double y = b + c;
double z = c + d;

и замените его на

double256 dabc = pack256(d, a, b, c);
double256 abcd = pack256(a, b, c, d);
double256 wxyz = dabc + abcd;

Итак, когда значения загружаются в регистры, они загружаются в один 256-битный регистр для некоторой вымышленной платформы с 256-битными регистрами.

Плавающая точка является важным соображением, некоторые DSP могут значительно быстрее работать с целыми числами. Графические процессоры имеют тенденцию быть отличными в плавающей точке, хотя некоторые из них в 2 раза быстрее при одной точности. Случай 3х3 этой проблемы может вписаться в один поток CUDA, поэтому вы можете одновременно выполнить 256 из этих вычислений.

Выберите свою платформу, прочитайте документацию, внедрите несколько разных методов и проведите их настройку.

Ответ 3

Я ожидаю, что основной проблемой производительности будет латентность памяти. A double[9] обычно составляет 72 байта. Это уже нетривиальная сумма, и вы используете три из них.

Ответ 4

Несмотря на вопрос, упомянутый в С++, я реализовал матричное умножение 3x3 C = A * B в С# (.NET 4.5) и провело некоторые базовые тесты времени на моей 64-битной машине Windows 7 с оптимизацией. 10 000 000 умножений заняли около

• 0,556 секунды с наивной реализацией и
• 0.874 секунд с кодом Laderman из другого ответа.

Интересно, что код Laderman был медленнее, чем наивный. Я не исследовал с профилировщиком, но, я думаю, дополнительные ассигнования более дорогостоящие, чем несколько дополнительных умножений.

Кажется, что современные компиляторы достаточно умен, чтобы делать эти оптимизации для нас, что хорошо. Вот наивный код, который я использовал для вашего интереса:

    public static Matrix3D operator *(Matrix3D a, Matrix3D b)
    {
        double c11 = a.M11 * b.M11 + a.M12 * b.M21 + a.M13 * b.M31;
        double c12 = a.M11 * b.M12 + a.M12 * b.M22 + a.M13 * b.M32;
        double c13 = a.M11 * b.M13 + a.M12 * b.M23 + a.M13 * b.M33;
        double c21 = a.M21 * b.M11 + a.M22 * b.M21 + a.M23 * b.M31;
        double c22 = a.M21 * b.M12 + a.M22 * b.M22 + a.M23 * b.M32;
        double c23 = a.M21 * b.M13 + a.M22 * b.M23 + a.M23 * b.M33;
        double c31 = a.M31 * b.M11 + a.M32 * b.M21 + a.M33 * b.M31;
        double c32 = a.M31 * b.M12 + a.M32 * b.M22 + a.M33 * b.M32;
        double c33 = a.M31 * b.M13 + a.M32 * b.M23 + a.M33 * b.M33;
        return new Matrix3D(
            c11, c12, c13,
            c21, c22, c23,
            c31, c32, c33);
    }

где Matrix3D является неизменяемой структурой (только для чтения).

Трудная вещь - придумать правильный тест, где вы измеряете свой код, а не то, что компилятор сделал с вашим кодом (отладчик с кучей лишних вещей или оптимизирован без вашего фактического кода, так как результат никогда не использовался). Обычно я пытаюсь "прикоснуться" к результату, чтобы компилятор не смог удалить тестируемый код (например, проверить элементы матрицы для равенства с 89038.8989384 и выбросить, если они равны). Однако, в конце концов, я даже не уверен, что компилятор сбивает это сравнение с пути:)