Определите, существует ли A + B = C в массиве из n целых чисел

Это проблема, которую мой друг получил в качестве домашней работы (в алгоритме и классе структуры данных). Он спросил меня об этом. Однако я не могу решить эту проблему и думал об этом в течение нескольких последних дней.

В диапазоне [0, 2 ³¹ -1] есть n случайных целых чисел (могут быть дубликаты. Определите, удовлетворяют ли 3 номерам этих чисел A + B = C.

Сначала я придумал наивный алгоритм, что O (n ² log n). Затем я придумал алгоритм, что O (n ²). Вот псевдокод:

sort(a); // non-descending
for (i = 0; i < n; i++) {
  j = i; k = i + 1;
  while (j < n && k < n) {
    if (a[i] + a[j] == a[k])
      return true;
    else if (a[i] + a[k] < a[j])
      k++;
    else
      j++;
  }
}
return false;

Однако проблема заключается в том, что 1 < n <= 10 ⁶. Я считаю, что O (n ²) слишком медленный. Мое решение не использует случайность. Однако я не уверен, что это важная часть проблемы.

Ответ 1

Общая проблема 3SUM-Hard и вопрос о том, есть ли более квадратичный алгоритм, открыт.

Итак, если вам нужен более быстрый алгоритм, вам, вероятно, потребуется использовать тот факт, что они 32-разрядные.

Ответ 2

Если числа являются случайными, любой наихудший алгоритм O(n^2) (включая ваш) будет работать очень быстро. На самом деле практическая сложность будет O(n*logn) (сложность сортировки).
Это очень похоже на quicksort, где у нас O(n*logn) среднее значение и крошечная вероятность удара O(n^2).

10^6 случайные числа дают нам ~ 10^6*10^6 "почти случайные" суммы в диапазоне ~ 0..10^9. Какова вероятность того, что одна из этих 10^12 случайных сумм будет равна заданному случайному значению в целочисленном диапазоне? Довольно хорошо. Теперь, какова вероятность того, что одна из этих 10^12 случайных сумм будет равна одному из 10 ^ 6 заданных случайных значений? 100%, говоря поэтично.

Я реализовал ваше предлагаемое решение, для n = 10^6 он выполняет в среднем 5000-10000 операции в самом внутреннем цикле. Так много для O(n^2). Сортировка - это самая дорогостоящая операция.

PS. Вы можете уменьшить сложность дальше и сделать ее еще O(1), если вы обновите решение, чтобы использовать хэш вместо сортировки.

PS 2. Программа тестирования в java, для справки. Запустите его и убедитесь сами.

    int n = 1000000;
    int[] a = new int[n];

    // generate random array
    Random r = new Random();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        do {
            a[i] = r.nextInt();
        } while (a[i] < 0);
    }

    Arrays.sort(a);

    // number of operations inside main loop
    int ops = 0;

    // main logic, pretty much as OP described it
    boolean found = false;
    for (int i = 0; i < n && !found; ++i) {
        int j = i;
        int k = i + 1;
        while (k < n) {
            ++ops;

            if (a[i] > a[k] - a[j]) {
                ++k;
            } else if (a[i] < a[k] - a[j]) {
                ++j;
            } else {
                System.out.println(a[i] + " + " + a[j] + " = " + a[k]);
                found = true;
                break;
            }
        }
    }

    System.out.println(ops);

Ответ 3

Алгоритм, использующий хеширование, занимает 10-900 микросекунд в Python (в среднем: 200 медианов: 60):

#!/usr/bin/env python
import random

L = frozenset(random.sample(xrange(2**31), 10**6))
print next(((a,b,a+b) for a in L for b in L if (a + b) in L), None)

Это O(N**2), но кажется, что он достаточно быстр.

Для сравнения, амортизированная операция O(N) создания frozenset занимает 270 миллисекунды (в 1000 раз медленнее, чем поиск), и для создания случайного списка требуется 0.9 секунд.

Примечание. random.sample не возвращает повторяющиеся элементы, если входная последовательность содержит уникальные элементы, поэтому frozenset не отбрасывает никаких элементов в приведенном выше примере. Чтобы решить проблему для случайной последовательности, которая позволяет повторять элементы, мы должны использовать две структуры данных:

#!/usr/bin/env python
import random

L = [random.randrange(2**31) for _ in xrange(10**6)]
S = frozenset(L)
print len(L), len(S)
print next(((a, b, a+b) for a in L for b in L if (a + b) in S), None)

Выход

1000000 999762
(2055933464, 83277289, 2139210753)

Ответ 4

Я получаю O (n log n) при измерении этого по отсортированным спискам:

from bisect import bisect_right
import cProfile as prof
import random

def find3sum(T):
    if len(T) < 3:
        return None
    n = len(T)
    top = T[-1]
    for i in range(len(T)-1):
        b = top - T[i]
        if b < T[i]:
            return None
        k = bisect_right(T, b, i, n-1)
        while k > i:
            c = T[i] + T[k]
            j = bisect_right(T, c, k, n-1)
            if j <= k:
                break
            elif T[j] == c:
               return (i, k, j)
            else:
               k -= 1

def test_one(a):
    a = sorted(a)
    r = find3sum(a)
    i, k , j = r
    assert a[i] + a[k] == a[j]

def test():
    n = 100000
    max = 200000
    random.seed(0)
    for _ in range(100):
        a = [random.randint(0,max) for _x in xrange(n)]
        test_one(a)
        a = range(n)
        test_one(a)

prof.run('test()')

Это результаты (об одном вызове для деления пополам на элемент):

   ncalls  tottime  percall  cumtime  percall filename:lineno(function)
        1    0.002    0.002  183.764  183.764 <string>:1(<module>)
      200    0.005    0.000   89.996    0.450 find2sum.py:25(test_one)
        1   17.269   17.269  183.762  183.762 find2sum.py:31(test)
      200   35.096    0.175   79.601    0.398 find2sum.py:5(find3sum)
 10000000   44.958    0.000   52.398    0.000 random.py:160(randrange)
 10000000   23.891    0.000   76.289    0.000 random.py:224(randint)
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 random.py:99(seed)
 19599982   44.077    0.000   44.077    0.000 {_bisect.bisect_right}
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 {function seed at 0x9a1972c}
      600    0.001    0.000    0.001    0.000 {len}
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 {method 'disable' of '_lsprof.Profiler' objects}
 10000000    7.440    0.000    7.440    0.000 {method 'random' of '_random.Random' objects}
      301    0.635    0.002    0.635    0.002 {range}
      200   10.390    0.052   10.390    0.052 {sorted}

Существует несколько оптимизаций, которые могут значительно сократить время выполнения (например, пропустить числа пробегов, равные уже проверенным).

Ответ 5

A + B = C, следовательно B = C-A или = C-B

Вышеупомянутая проблема может быть выполнена в O (n) сложности с использованием хеш-таблицы.

var C; // the sum you are looking for
for(each element)
    X = C - element
    boolean exists = lookup for X in hash table
    if (exists) combination A+B=C exists in the given input
    else hashtable.put(element)

Надеюсь, что это поможет.