Продукты и копродукт в позициях

Ответ 1

Посмотрим сначала на определение продукта:

Произведением объектов a и b является объект c, снабженный морфизмами p :: c -> a и q :: c -> b, такими, что для любого другого объекта c' (с морфизмами p' :: c' -> a и q' :: c' -> b), существует такой морфизм m :: c' -> c, что p' = p . m и q' = q . m.

Помните, что морфизм в poset в основном описывает отношение "меньше или равно".

Теперь продукт c между двумя объектами a и b должен быть объектом, меньшим или равным как a, так и b. В качестве примера, выберем a как e и b как g из вашего графика:

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

Тривиально первым объектом, который приходит на ум, который всегда меньше или равен любому другому объекту, является наименьший объект, в данном случае a.

Теперь a действительный кандидат для продукта e и g? Пусть проверяется определение произведения:

Существует ли морфизм от a до e? Да, это существует и может быть записано как pₐ = ce . ac (следующим образом: "сначала стрелка от a до c, затем стрелка от c до e" ).

Есть ли морхизм от a до g? Да, это тоже существует и может быть записано как qₐ = cg . ac.

До сих пор так хорошо, остается только вопрос, является ли это "лучшим" кандидатом в том смысле, что не существует другого объекта, так что мы можем построить уникальный изоморфизм между a и другим кандидатом?

Посмотрев на график, мы видим, что объект c также выполняет требуемые критерии: p = ce и q = cg.

Все, что осталось сделать, это ранжировать эти два объекта в соответствии с указанным выше определением. Мы видим, что существует морфизм от a до c. Это означает, что c должен быть лучшим кандидатом, так как теперь мы можем определить морфизм m = ac такой, что pₐ = p . m = ce . ac и qₐ = q . m = cg . ac.

Итак, произведение двух объектов в poset на самом деле является самым большим объектом, который меньше, чем оба (также называемый наибольшей нижней границей). Стоит отметить, что в полном порядке это соответствует функции min(a, b), так как каждый объект должен быть связан с любым другим объектом (Вольфрам называет это закон трихотомии).

Аналогично определению продукта, копроизведение соответствует наименьшему объекту, большему или равному как a, так и b. В общем порядке это соответствует максимуму обоих объектов. Вы можете это сделать самостоятельно.