Python: поиск нескольких корней нелинейного уравнения

Предположим, что следующая функция:

f(x) = x * cos(x-4)

С x = [-2.5, 2.5] эта функция пересекает 0 в f(0) = 0 и f(-0.71238898) = 0.

Это было определено с помощью следующего кода:

import math
from scipy.optimize import fsolve
def func(x):
    return x*math.cos(x-4)
x0 = fsolve(func, 0.0)
# returns [0.]
x0 = fsolve(func, -0.75)
# returns [-0.71238898]

Каков правильный способ использования fzero (или любого другого корневого искателя Python), чтобы найти оба корня в одном вызове? Есть ли другая функция scipy, которая делает это?

fzero ссылка

Ответ 1

Определите свою функцию так, чтобы в качестве аргумента мог принимать либо скаляр, либо массив numpy:

>>> import numpy as np
>>> f = lambda x : x * np.cos(x-4)

Затем передайте вектор аргументов в fsolve.

>>> x = np.array([0.0, -0.75])
>>> fsolve(f,x)
array([ 0.        , -0.71238898])

Ответ 2

Я как-то написал модуль для этой задачи. Он основан на главе 4.3 из книги Численные методы в инженерии с Python от Jaan Kiusalaas:

import math

def rootsearch(f,a,b,dx):
    x1 = a; f1 = f(a)
    x2 = a + dx; f2 = f(x2)
    while f1*f2 > 0.0:
        if x1 >= b:
            return None,None
        x1 = x2; f1 = f2
        x2 = x1 + dx; f2 = f(x2)
    return x1,x2

def bisect(f,x1,x2,switch=0,epsilon=1.0e-9):
    f1 = f(x1)
    if f1 == 0.0:
        return x1
    f2 = f(x2)
    if f2 == 0.0:
        return x2
    if f1*f2 > 0.0:
        print('Root is not bracketed')
        return None
    n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/epsilon)/math.log(2.0)))
    for i in range(n):
        x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3)
        if (switch == 1) and (abs(f3) >abs(f1)) and (abs(f3) > abs(f2)):
            return None
        if f3 == 0.0:
            return x3
        if f2*f3 < 0.0:
            x1 = x3
            f1 = f3
        else:
            x2 =x3
            f2 = f3
    return (x1 + x2)/2.0

def roots(f, a, b, eps=1e-6):
    print ('The roots on the interval [%f, %f] are:' % (a,b))
    while 1:
        x1,x2 = rootsearch(f,a,b,eps)
        if x1 != None:
            a = x2
            root = bisect(f,x1,x2,1)
            if root != None:
                pass
                print (round(root,-int(math.log(eps, 10))))
        else:
            print ('\nDone')
            break

f=lambda x:x*math.cos(x-4)
roots(f, -3, 3)

roots находит все корни f в интервале [a, b].

Ответ 3

В общем случае (т.е. если ваша функция не принадлежит к определенному классу), вы не можете найти все глобальные решения - эти методы обычно выполняют локальную оптимизацию из заданных начальных точек.

Однако вы можете переключать math.cos() с помощью numpy.cos(), и это будет векторизовать вашу функцию, чтобы она могла решить сразу несколько значений, например. fsolve (func, np.arange(-10,10,0.5)).