Подтвердить что ты не робот

Оптимальная 9-элементная сортировочная сеть, которая сводится к оптимальной сети медианы 9?

Я занимаюсь сортировкой и сетями медианного выбора для девяти элементов, основанных исключительно на двух минимальных/максимальных операциях с двумя входами. Knuth, TAOCP Vol. 3, 2-е изд. (стр. 226), что для девятиэлементной сортировочной сети требуется не менее 25 сравнений, что означает равное количество примитивов SWAP() или 50 мин/макс. Очевидно, что сортировочная сеть может быть преобразована в сеть медиа-отбора, исключив избыточные операции. По-видимому, общепринятая мудрость заключается в том, что это не приводит к созданию оптимальной сети медианного отбора. Хотя это кажется эмпирически истинным, я не могу найти в литературе никаких доказательств, что это обязательно так.

Лукаш Секанина, "Эволюционное проектирование космических исследований для медианных цепей". В: EvoWorkshops, март 2004 г., стр. 240-249, дается минимальное количество операций min/max, необходимых для оптимальной сети с выбором из девяти входных медиа, как 30 (таблица 1). Я подтвердил, что это достигается как с помощью известной сети медианного отбора, предложенной Джоном Л. Смитом, "Реализация медианных фильтров в FPGA XC4000E". Журнал XCELL, том. 23, 1996, с. 16, а сеть медианных из более ранних работ Chaitali Chakrabarti и Li-Yu Wang, "Новая сортировка сетевых архитектур для фильтров ранжирования". IEEE-транзакции на очень крупных системах интеграции шкал, Vol. 2, № 4 (1994), стр. 502-507, где последний преобразуется в первый путем простого исключения избыточных компонентов. См. Варианты 4 и 5 в приведенном ниже коде.

Изучая опубликованные оптимальные девятиэлементные сортировочные сети для пригодности для преобразования в эффективные сети медианного отбора путем устранения избыточных операций, лучшая версия, которую мне удалось найти, - от Джона М. Гэмбла онлайновый генератор, для которого требуется 32 минуты/макс. операций, так что просто два застенчивых из оптимального количества операций. Это показано как вариант 1 в приведенном ниже коде. Другие оптимальные сортировочные сети сокращают до 36 мин/макс (вариант 2) и 38 мин/макс (вариант 3) соответственно.

Существует ли известная девятиэлементная сеть сортировки (т.е. с 50 двухминутными минимальными/максимальными операциями), которая сводится к оптимальной сетке выбора с девятью входами (с 30 двухминутными минимальными/максимальными операциями) путем устранения избыточные операции?

В приведенном ниже коде используются данные float в качестве тестового примера, так как многие процессоры предлагают минимальные/максимальные операции для данных с плавающей запятой, но не целые данные, что является одним из исключений. Из-за проблем со специальными операндами с плавающей запятой (которые не встречаются в моем фактическом использовании) оптимальные кодовые последовательности обычно требуют использования режимов "быстрой математики", предлагаемых компиляторами, например, в этом тестовый стенд Godbolt.

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define VARIANT     1
#define FULL_SORT   0

typedef float T;

#define MIN(a,b) std::min(a,b)
#define MAX(a,b) std::max(a,b)
#define SWAP(i,j) do { T s = MIN(a##i,a##j); T t = MAX(a##i,a##j); a##i = s; a##j = t; } while (0)
#define MIN3(x,y,z)  MIN(a##x,MIN(a##y,a##z))
#define MAX3(x,y,z)  MAX(a##x,MAX(a##y,a##z))
#define MED3(x,y,z)  MIN(MAX(MIN(a##y,a##z),a##x),MAX(a##y,a##z))
#define SORT3(x,y,z) do { T s = MIN3(x,y,z);  T t = MED3(x,y,z);  T u = MAX3(x,y,z); a##x=s; a##y=t; a##z=u; } while (0)

/* Use sorting/median network to fully or partially sort array of nine values
   and return the median value
*/
T network9 (T *a)
{
    // copy to scalars
    T a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8;
    a0=a[0];a1=a[1];a2=a[2];a3=a[3];a4=a[4];a5=a[5];a6=a[6];a7=a[7];a8=a[8];

#if VARIANT == 1
    // Full sort. http://pages.ripco.net/~jgamble/nw.html
    SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (1, 2);   SWAP (4, 5);
    SWAP (7, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (0, 3);
    SWAP (3, 6);   SWAP (0, 3);   SWAP (1, 4);   SWAP (4, 7);   SWAP (1, 4);
    SWAP (2, 5);   SWAP (5, 8);   SWAP (2, 5);   SWAP (1, 3);   SWAP (5, 7);
    SWAP (2, 6);   SWAP (4, 6);   SWAP (2, 4);   SWAP (2, 3);   SWAP (5, 6);
#elif VARIANT == 2
    // Full sort. Donald E. Knuth, TAOCP Vol. 3, 2nd ed., Fig 51
    SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (1, 2);   SWAP (4, 5);
    SWAP (7, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (3, 4);   SWAP (6, 7);   SWAP (2, 5);
    SWAP (0, 3);   SWAP (5, 8);   SWAP (1, 4);   SWAP (2, 5);   SWAP (3, 6);
    SWAP (4, 7);   SWAP (0, 3);   SWAP (5, 7);   SWAP (1, 4);   SWAP (2, 6);
    SWAP (1, 3);   SWAP (2, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (2, 3);   SWAP (4, 5);
#elif VARIANT == 3
    // Full sort. Vinod K Valsalam and Risto Miikkulainen, "Using Symmetry 
    // and Evolutionary Search to Minimize Sorting Networks". Journal of 
    // Machine Learning Research 14 (2013) 303-331
    SWAP (2, 6);   SWAP (0, 5);   SWAP (1, 4);   SWAP (7, 8);   SWAP (0, 7);
    SWAP (1, 2);   SWAP (3, 5);   SWAP (4, 6);   SWAP (5, 8);   SWAP (1, 3);
    SWAP (6, 8);   SWAP (0, 1);   SWAP (4, 5);   SWAP (2, 7);   SWAP (3, 7);
    SWAP (3, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (1, 2);   SWAP (1, 3);   SWAP (6, 7);
    SWAP (4, 5);   SWAP (2, 4);   SWAP (5, 6);   SWAP (2, 3);   SWAP (4, 5);
#elif VARIANT == 4
    // Chaitali Chakrabarti and Li-Yu Wang, "Novel sorting network-based 
    // architectures for rank order filters." IEEE Transactions on Very
    // Large Scale Integration Systems, Vol. 2, No. 4 (1994), pp. 502-507
    // sort columns
    SORT3 (0, 1, 2);
    SORT3 (3, 4, 5);
    SORT3 (6, 7, 8);
    // sort rows
    SORT3 (0, 3, 6);  // degenerate: MAX3 -> a6
    SORT3 (1, 4, 7);  // degenerate: MED3 -> a4
    SORT3 (2, 5, 8);  // degenerate: MIN3 -> a2
    // median computation
    SORT3 (2, 4, 6);  // degenerate: MED3 -> a4 has rank 4
#elif VARIANT == 5
    // John L. Smith, "Implementing median filters in XC4000E FPGAs", 
    // XCELL magazine, Vol. 23, 1996, p. 16
    SORT3 (0, 1, 2);
    SORT3 (3, 4, 5);
    SORT3 (6, 7, 8);
    a3 = MAX3 (0, 3, 6);  // a3 has rank 2,3,4,5,6
    a4 = MED3 (1, 4, 7);  // a4 has rank 3,4,5
    a5 = MIN3 (2, 5, 8);  // a5 has rank 2,3,4,5,6
    a4 = MED3 (3, 4, 5);  // a4 has rank 4
#else 
#error unknown VARIANT
#endif

#if FULL_SORT
    // copy back sorted results
    a[0]=a0;a[1]=a1;a[2]=a2;a[3]=a3;a[4]=a4;a[5]=a5;a[6]=a6;a[7]=a7;a[8]=a8;
#endif

    // return median-of-9
    return a4;
}
4b9b3361

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Я не уверен, что это удовлетворит все критерии того, что вы ищете, но вот способ превратить вариант 5 в 25-swap-сеть с 50-минутной/максимальной сортировкой, а затем уменьшить ее до 30-минутная/максимальная сеть медиа-отбора:

Начнем с сети медиа-отбора (John L. Smith, 1996), которая использует три SORT3, один MAX3, один MIN3 и два MED3:

введите описание изображения здесь

Мы меняем все MAX3, MIN3 и MED3 на SORT3 и добавляем четыре SWAP для получения полной сортировочной сети:

введите описание изображения здесь

(Нам не нужна полная сортировка троек 1,2,3 и 5,6,7 в конце, потому что 2 не может быть меньше, чем 1 и 3, а 6 не может быть больше, чем 5 и 7.)

Когда мы заменяем SORT3 на SWAP, мы получаем эту стандартную сеть сортировки по 25 подкатегорий:

введите описание изображения здесь

Затем мы можем свести его к этой сетке медианного выбора 30 минут/максимум:

введите описание изображения здесь

MIN = Math.min; MAX = Math.max;

function sortingNetwork9(a) {        // 50x min/max
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(1,2); swap(4,5); swap(7,8);
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(0,3); swap(3,6); swap(0,3);
    swap(1,4); swap(4,7); swap(1,4);
    swap(5,8); swap(2,5); swap(5,8);
    swap(2,4); swap(4,6); swap(2,4);  
    swap(1,3); swap(2,3);
    swap(5,7); swap(5,6);

    function swap(i,j) {var tmp = MIN(a[i],a[j]); a[j] = MAX(a[i],a[j]); a[i] = tmp;}
}
function medianSelection9(a) {       // 30x min/max
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
    swap(1,2); swap(4,5); swap(7,8);
    swap(0,1); swap(3,4); swap(6,7);
     max(0,3);  max(3,6);  // (0,3);
    swap(1,4);  min(4,7);  max(1,4);
     min(5,8);  min(2,5);  // (5,8);
    swap(2,4);  min(4,6);  max(2,4);  
     // (1,3);  // (2,3);
     // (5,7);  // (5,6);

    function swap(i,j) {var tmp = MIN(a[i],a[j]); a[j] = MAX(a[i],a[j]); a[i] = tmp;}
    function min(i,j) {a[i] = MIN(a[i],a[j]);}
    function max(i,j) {a[j] = MAX(a[i],a[j]);}
}
var a = [5,7,1,8,2,3,6,4,0], b = [5,7,1,8,2,3,6,4,0];
sortingNetwork9(a);
medianSelection9(b);
document.write("sorted: " + a + "<br>median: " + b[4]);