Проективное преобразование

Ответ 1

Использование линейной алгебры намного проще, чем вся эта геометрия! Кроме того, вам не нужно использовать синус, косинус и т.д., Поэтому вы можете хранить каждое число как рациональную фракцию и получать точный численный результат, если вам это нужно.

То, что вы хотите, - это сопоставление от ваших старых (x, y) координат к вашим новым (x ', y') координатам. Вы можете сделать это с помощью матриц. Вам нужно найти матрицу проекций 2 на 4, такую, что P раз старые координаты равны новым координатам. Предположим, что вы сопоставляете строки с линиями (а не, например, прямые линии до парабол). Поскольку у вас есть проекция (параллельные линии не остаются параллельными) и перевод (скользящий), вам нужен коэффициент (xy) и (1). Нарисованы как матрицы:

          [x  ]
[a b c d]*[y  ] = [x']
[e f g h] [x*y]   [y']
          [1  ]

Вам нужно знать сквозной h, чтобы решить эти уравнения:

a*x_0 + b*y_0 + c*x_0*y_0 + d = i_0
a*x_1 + b*y_1 + c*x_1*y_1 + d = i_1
a*x_2 + b*y_2 + c*x_2*y_2 + d = i_2
a*x_3 + b*y_3 + c*x_3*y_3 + d = i_3

e*x_0 + f*y_0 + g*x_0*y_0 + h = j_0
e*x_1 + f*y_1 + g*x_1*y_1 + h = j_1
e*x_2 + f*y_2 + g*x_2*y_2 + h = j_2
e*x_3 + f*y_3 + g*x_3*y_3 + h = j_3

Опять же, вы можете использовать линейную алгебру:

[x_0 y_0 x_0*y_0 1]   [a e]   [i_0 j_0]
[x_1 y_1 x_1*y_1 1] * [b f] = [i_1 j_1]
[x_2 y_2 x_2*y_2 1]   [c g]   [i_2 j_2]
[x_3 y_3 x_3*y_3 1]   [d h]   [i_3 j_3]

Подключите свои углы к x_n, y_n, i_n, j_n. (Углы работают лучше, потому что они далеко друг от друга, чтобы уменьшить ошибку, если вы выбираете точки, например, с помощью кликов пользователя.) Возьмите инверсию матрицы 4x4 и умножьте ее на правую часть уравнения. Транспонированием этой матрицы является P. Вы должны иметь возможность находить функции для вычисления матрицы, обратной и умноженной в режиме онлайн.

Где вы, вероятно, будете иметь ошибки:

• При вычислении не забудьте проверить деление на ноль. Это признак того, что ваша матрица не обратима. Это может произойти, если вы попытаетесь сопоставить одну (x, y) координату с двумя разными точками.
• Если вы пишете собственную математическую матрицу, помните, что в матрицах обычно указывается строка, столбец (вертикальный, горизонтальный), а графики экрана - x, y (по горизонтали, по вертикали). В первый раз вы обязательно получите что-то неправильно.

Ответ 2

РЕДАКТИРОВАТЬ

Приведенное ниже предположение об инвариантности соотношений углов неверно. Вместо этого проективные преобразования сохраняют перекрестные отношения и заболеваемость. Решение тогда:

1. Найдите точку C 'на пересечении линий, определенных отрезками AD и CP.
2. Найдите точку B 'на пересечении линий, определенных отрезками AD и BP.
3. Определите перекрестное соотношение B'DAC ', то есть r = (BA' * DC ')/(DA * B'C').
4. Построить проектируемую линию F'HEG '. Соотношение этих точек равно r, т.е. r = (F'E * HG ')/(HE * F'G').
5. F'F и G'G будут пересекаться в проецируемой точке Q, поэтому, приравнивая перекрестные отношения и зная длину стороны квадрата, вы можете определить положение Q с помощью некоторой арифметической гимнастики.

Хмммм.... Я сделаю удар в этом. Это решение основано на предположении, что при преобразовании отношения углов сохраняются. Смотрите изображение для руководства (извините за плохое качество изображения... это действительно поздно). Алгоритм обеспечивает только сопоставление точки в четырехугольнике с точкой в квадрате. Вам все еще нужно будет реализовать работу с несколькими точками квадрата, отображаемыми в одну и ту же квадратную точку.

Пусть ABCD - четырехугольник, где A - верхняя левая вершина, B - верхняя правая вершина, C - нижняя правая вершина и D - нижняя левая вершина. Пара (xA, yA) представляет координаты x и y вершины A. Мы отображаем точки в этом четырехугольнике на квадрат EFGH, сторона которого имеет длину, равную m.

Вычислить длины AD, CD, AC, BD и BC:

AD = sqrt((xA-xD)^2 + (yA-yD)^2)
CD = sqrt((xC-xD)^2 + (yC-yD)^2)
AC = sqrt((xA-xC)^2 + (yA-yC)^2)
BD = sqrt((xB-xD)^2 + (yB-yD)^2)
BC = sqrt((xB-xC)^2 + (yB-yC)^2)

Пусть thetaD - это угол в вершине D, а thetaC - угол в вершине C. Вычислите эти углы, используя закон косинуса:

thetaD = arccos((AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2*AD*CD))
thetaC = arccos((BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2*BC*CD))

Мы отображаем каждую точку P в четырехугольнике на точку Q в квадрате. Для каждой точки P в четырехугольнике сделайте следующее:

• Найти расстояние DP:

  DP = sqrt((xP-xD)^2 + (yP-yD)^2)
  

• Найдите расстояние CP:

  CP = sqrt((xP-xC)^2 + (yP-yC)^2)
  

• Найдите угол thetaP1 между CD и DP:

  thetaP1 = arccos((DP^2 + CD^2 - CP^2) / (2*DP*CD))
  

• Найдите угол thetaP2 между CD и CP:

  thetaP2 = arccos((CP^2 + CD^2 - DP^2) / (2*CP*CD))
  

• Отношение тэта P1 к тэтаD должно быть отношением тэта Q1 к 90. Поэтому рассчитайте тэта Q1:

  thetaQ1 = thetaP1 * 90 / thetaD
  

• Аналогично рассчитаем thetaQ2:

  thetaQ2 = thetaP2 * 90 / thetaC
  

• Найти расстояние HQ:

  HQ = m * sin(thetaQ2) / sin(180-thetaQ1-thetaQ2)
  

• Наконец, положение x и y Q относительно нижнего левого угла EFGH:

  x = HQ * cos(thetaQ1)
  y = HQ * sin(thetaQ1)
  

Вам нужно будет отследить, сколько значений цвета отображается в каждой точке квадрата, чтобы можно было рассчитать средний цвет для каждой из этих точек.

Ответ 3

Я думаю, что вы находитесь за плоской гомографией, посмотрите на эти лекции:

http://www.cs.utoronto.ca/~strider/vis-notes/tutHomography04.pdf

Если вы прокрутите список до конца, вы увидите пример того, что вы описываете. Я ожидаю, что в библиотеке Intel OpenCV будет функция, которая будет делать именно это.

Ответ 4

Существует проект проекта С++ в CodeProject, который включает источник для проективных преобразований растровых изображений. Математика находится в Википедии здесь. Заметим, что, насколько я знаю, проективное преобразование не будет отображать любой произвольный четырехугольник на другой, но будет делать это для треугольников, вы также можете искать искажения преобразования.

Ответ 5

Если это преобразование должно выглядеть хорошо (в отличие от того, как выглядит растровое изображение, если вы изменяете его размер в Paint), вы не можете просто создать формулу, которая отображает пиксели назначения в исходные пиксели. Значения в буфере назначения должны основываться на сложном усреднении соседних пикселей источника, иначе результаты будут сильно пикселированы.

Итак, если вы не хотите вдаваться в сложное кодирование, используйте чужую магическую функцию, как предположили smacl и Ian.

Ответ 6

Вот как это делается в принципе:

• отображает начало координат A в начало B через вектор трансляции t.
• возьмем единичные векторы A (1,0) и (0,1) и вычислим, как они будут отображаться на единичные векторы B.
• это дает вам матрицу преобразования M, так что каждый вектор a в отображает на M a + t
• инвертируем матрицу и нейтрализуем вектор traslation, поэтому для каждого вектора b в B вы имеете обратное отображение b → M ^-1 (b - t)
• как только у вас есть это преобразование, для каждой точки в целевой области в B найдите соответствующее значение в и скопируйте.

Преимущество этого сопоставления заключается в том, что вы вычисляете только нужные вам точки, т.е. вы выполняете цикл в целевых точках, а не в точках источника. Это была широко используемая техника в сценарии "демо-кодирования" несколько лет назад.