Рисование части кривой Безье путем повторного использования базовой функции кривой Безье?

Предполагая, что я использую некоторый графический API, который позволяет мне рисовать безье, указав 4 необходимые точки: начало, конец, две контрольные точки.

Могу ли я повторно использовать эту функцию, чтобы нарисовать x% кривой "оригинал" (путем настройки контрольных точек и конечной точки)?

Или это невозможно?

Ненужная информация, если кому-то нужно:

Мне нужно все, чтобы рисовать все n% оригинала
кривая безье с другим цветом и/или стилем линии

Я использую Java Path2D для рисования кривых Безье:

Path2D p = new GeneralPath();
p.moveTo(x1, y1);
p.curveTo(bx1, by1, bx2, by2, x2, y2);
g2.draw(p);

Ответ 1

Вам нужен алгоритм Де Кастеляу. Это позволит вам разделить свою кривую на любые сегменты, которые вы хотели бы.

Однако, поскольку вы имеете дело с кубическими кривыми, я хотел бы предложить несколько более легкую в использовании формулировку, которая даст вам сегмент от t0 до t1, где 0 <= t0 <= t1 <= 1. Здесь некоторый псевдокод:

u0 = 1.0 - t0
u1 = 1.0 - t1

qxa =  x1*u0*u0 + bx1*2*t0*u0 + bx2*t0*t0
qxb =  x1*u1*u1 + bx1*2*t1*u1 + bx2*t1*t1
qxc = bx1*u0*u0 + bx2*2*t0*u0 +  x2*t0*t0
qxd = bx1*u1*u1 + bx2*2*t1*u1 +  x2*t1*t1

qya =  y1*u0*u0 + by1*2*t0*u0 + by2*t0*t0
qyb =  y1*u1*u1 + by1*2*t1*u1 + by2*t1*t1
qyc = by1*u0*u0 + by2*2*t0*u0 +  y2*t0*t0
qyd = by1*u1*u1 + by2*2*t1*u1 +  y2*t1*t1

xa = qxa*u0 + qxc*t0
xb = qxa*u1 + qxc*t1
xc = qxb*u0 + qxd*t0
xd = qxb*u1 + qxd*t1

ya = qya*u0 + qyc*t0
yb = qya*u1 + qyc*t1
yc = qyb*u0 + qyd*t0
yd = qyb*u1 + qyd*t1

Затем просто нарисуйте кривую Безье, образованную (xa,ya), (xb,yb), (xc,yc) и (xd,yd).

Обратите внимание, что t0 и t1 не являются точными процентами расстояния кривой, а скорее пространством параметров кривых. Если вы абсолютно должны иметь дистанцию, тогда все намного сложнее. Попробуйте это и посмотрите, делает ли он то, что вам нужно.

Edit: Стоит отметить, что эти уравнения достаточно упрощают, если либо t0, либо t1 равно 0 или 1 (т.е. вы хотите только обрезать с одной стороны).

Кроме того, отношение 0 <= t0 <= t1 <= 1 не является строгим требованием. Например, t0 = 1 и t1 = 0 могут использоваться для "перевертывания" кривой назад или t0 = 0 и t1 = 1.5 могут использоваться для расширения кривой за исходным концом. Однако кривая может выглядеть иначе, чем вы ожидаете, если попытаетесь расширить ее за пределы диапазона [0,1].

Edit2: Через 3 года после моего первоначального ответа MvG указал на ошибку в моих уравнениях. Я забыл последний шаг (дополнительную линейную интерполяцию, чтобы получить конечные контрольные точки). Уравнения выше были исправлены.

Ответ 2

В ответе на еще один вопрос Я просто включил некоторые формулы для вычисления контрольных точек для раздела кубическая кривая. При u= 1 - t кубическая кривая Безье описывается как

B (t) = u ³ P ₁ + 3 u ² t P ₂ + 3 ut ² P ₃ + t ³ P _{4суб >}

P ₁ - начальная точка кривой, P ₄ ее конечная точка. P ₂ и P ₃ - контрольные точки.

Учитывая два параметра t ₀ и t ₁ (и с u ₀= (1 - t ₀), u ₁= (1 - t ₁)), часть кривой в интервале [ t ₀, t ₁] описывается новыми контрольными точками

Q ₁ = u ₀ u ₀ u ₀ P ₁ + ( t ₀ u ₀ u ₀ + u ₀ t ₀ u ₀ + u ₀ u ₀ t ₀) P ₂ + ( t ₀ t ₀ u ₀ + u ₀ t ₀ t ₀ + t ₀ u ₀ t ₀) P ₃ + t ₀ t ₀ t ₀ P <суб > 4суб >
Q ₂ = u ₀ u ₀ u ₁ P ₁ + ( t ₀ u ₀ u ₁ + u ₀ t ₀ u ₁ + u ₀ u ₀ t ₁) P ₂ + ( t ₀ t ₀ u ₁ + u ₀ t ₀ t ₁ + t ₀ u ₀ t ₁) P ₃ + t ₀ t ₀ t ₁ P <суб > 4суб >
Q ₃ = u ₀ u ₁ u ₁ P ₁ + ( t ₀ u ₁ u ₁ + u ₀ t ₁ u ₁ + u ₀ u ₁ t ₁) P ₂ + ( t ₀ t ₁ u ₁ + u ₀ t ₁ t ₁ + t ₀ u ₁ t ₁) P ₃ + t ₀ t ₁ t ₁ P <суб > 4суб >
Q ₄ = u ₁ u ₁ u ₁ P ₁ + ( t ₁ u ₁ u ₁ + u ₁ t ₁ u ₁ + u ₁ u ₁ t ₁) P ₂ + ( t ₁ t ₁ u ₁ + u ₁ t ₁ t ₁ + t ₁ u ₁ t ₁) P ₃ + t ₁ t ₁ t ₁ P <суб > 4суб >

Обратите внимание, что в выраженных в скобках выражениях, по крайней мере, некоторые из терминов равны и могут быть объединены. Я не делал этого, так как формула, как указано здесь, сделает образец более ясным, я считаю. Вы можете просто выполнить эти вычисления независимо для направлений x и y для вычисления ваших новых контрольных точек.

Обратите внимание, что данный процент от диапазона параметров для t вообще не будет соответствовать тому же проценту длины. Таким образом, вам, скорее всего, придется интегрировать по кривой, чтобы вернуть длину пути обратно в параметры. Или вы используете некоторое приближение.