int foo(int n)
{
int x=2;
while (x<n)
{
x = x*x*x;
}
return x;
}
Мне нужно проанализировать его временную сложность. Я заметил, что он достигает n намного быстрее, чем просто log(n). Я имею в виду, что он делает меньше шагов, чем O(log(n)). Я прочитал ответ, но понятия не имею, как они добрались до него: O(log(log(n)). Теперь, как вы подходите к такому вопросу?
Пусть
L3= log на базу 3 L2= Войдите в базу 2
Тогда правильный ответ O (L3 (L2 (n)) и NOT O (L2 (L2 (n)).
Начните с x = x * 2. x будет экспоненциально возрастать до тех пор, пока не достигнет n, тем самым создав временную сложность O (L2 (n))
Теперь рассмотрим x = x * x. x увеличивается быстрее, чем указано выше. На каждой итерации значение x переходит в квадрат его предыдущего значения. Выполняя некоторую простую математику, вот что мы получаем:
При x = 2 n = 4, итерации приняты = 1 n = 16, итерации приняты = 2 n = 256, итерации приняты = 3 n = 65536, итерации приняты = 4
Таким образом, временная сложность O (L2 (L2 (n)). Вы можете проверить это, поставив значения выше значений для n.
Теперь приступим к вашей проблеме, x = x * x * x. Это будет увеличиваться даже быстрее, чем x = x * x. Вот таблица:
При x = 2 n = 8, итерации приняты = 1 n = 512, итерации приняты = 2 n = (512 * 512 * 512), итерации приняты = 3 и т.д.
Если вы посмотрите на это внимательно, это окажется O (L3 (L2 (n)). L2 (n) даст вам силу в два, но поскольку вы принимаете куб x на каждой итерации, вам нужно будет записать журнал на базу 3, чтобы узнать правильное количество итераций.
Итак, я считаю, что правильный ответ O (log-to-base-3 (log-to-base-2 (n))
Обобщая это, если x = x * x * x * x *.. (k раз), тогда временная сложность O (log-to-base-k (log -в-база-2 (п)
думают об этом как о рекурсивной функции:
f(i) = f(i-1)^3
если вы его развернете:
f(i) = ((f(i-k)^3)^3)[...k times] = f(i-k)^(3^k) = f(0)^(3^i)
функция растет как мощность мощности... так что время (итерации) для достижения определенного числа (т.е. вычисление обратной функции) является логарифмом логарифма.
Как и в вашем примере f(0) = 2, мы хотим знать, когда f(i) >= n является n входным параметром (и i числом итераций):
f(i) = 2^(3^i) >= n
3^i >= log_2(n)
i >= log_3(log_2(n))
Итак, чтобы достичь значения n, it takes log_3(log_2(n)) итераций (округлить, имея дело с целыми числами, чтобы превзойти его).
если бы функция была:
f(i) = 2*f(i-1) //e.g. x=2*x
тогда шаблон будет выглядеть следующим образом:
f(i) = 2*2*[...k times]*f(i-k) = f(i-k)*(2^k) = f(0)*(2^i)
И в этом случае обратная функция будет единственным логарифмом в базе 2.
Моя математика не очень строгая, но я надеюсь, что вы поймете эту идею.
Подумайте о том, как x изменяется с количеством итераций через цикл. Каждый раз вы его кубируете. Таким образом, после я итераций значение будет 2 кубика, снова куба... и так далее, я раз. Позвольте использовать x (i) для обозначения этого выражения. Пусть говорят, что x (0) = 2, x (1) = 2 3 и т.д. (Я использую b для обозначения поднятой до b-й степени).
Мы закончили, когда x (i) >= n. Сколько времени это занимает? Пусть для i.
First, we take a log on both sides: ln(x(i))>=ln(n) ln(x(i)) = ln(x(i-1))*3 = ln(x(i-2))*(3**2) = ... = ln(x(0))*(3**i) (the above uses [this property][1]: ln(x**b)==ln(x)*b) so, 3**i * 2 >=ln(n). Let take another logarithm: ln(3**i * 2) = ln(2) + ln(3)*i so ln(2) + ln(3)* i >= ln(ln(n)) Now we can solve for i: i >= ( ln(ln(n))-ln(2) ) / ln(3)
Мы можем игнорировать постоянные факторы, и мы оставляем за собой заключение о том, что мы выполним шаги log (log (n)). Это сложность вашего алгоритма.
Надеемся, что все шаги, подобные этому, помогут.
Если код внутри цикла while был
x = 2*x;
x достигнет n в O (log (n)) итерациях. Поскольку вы кубируете x вместо того, чтобы просто умножать его на константу, вы достигнете n быстрее.
Учитывая
log ( A * x ) == log ( A ) + log ( x )
log ( x * x * x ) == 3 * log ( x )
Итак,
log ( log ( x * x * x ) ) == log ( 3 * log ( x ) )
== log ( 3 ) + log ( log ( x ) )
Насколько быстрее или медленнее (измеряется числом итераций цикла) эта функция будет больше, чем ваша функция?
int log_foo ( int n )
{
double log_x = log ( 2 );
const double log_n = log ( n );
while ( log_x < log_n )
{
log_x = 3 * log_x;
}
return exp ( log_x );
}
И насколько быстрее или медленнее будет эта функция, чем ваша функция?
int log_log_foo ( int n )
{
double log_log_x = log ( log ( 2 ) );
const double log_log_n = log ( log ( n ) );
const double log_3 = log ( 3 );
while ( log_log_x < log_log_n )
{
log_log_x += log_3;
}
return exp ( exp ( log_log_x ) );
}
Но эта функция только увеличивает log_log_x на константу, поэтому легко определить, сколько итераций она делает.
Пусть i - количество шагов итерации и x(i) значение x после шагов i. Мы имеем
x(0) = 2
x(i) = x(i-1)³
Общее количество шагов - это самый большой i, поэтому x(i) < n.
Мы имеем
log x(i) = log x(i-1)³
= 3·log x(i-1)
= 3·log x(i-2)³
= 3²·log x(i-2)
= 3^i·log x(0)
= 3^i·log 2
⇒ log log x(i) = log (3^i·log 2)
= log 3^i + log log 2
= i·log 3 + log log 2
Логарифм строго возрастает, поэтому
x(i) < n ⇔ log log x(i) < log log n
⇔ i·log 3 + log log 2 < log log n
⇔ i < (log log n - log log 2) / log 3 ∈ O(log log n)
Почему бы не добавить переменную счетчика, чтобы подсчитать количество итераций цикла. Распечатайте его перед тем, как функция вернется.
Затем вызовите функцию для диапазона значений, например. От 3 до 1 000 000. Затем нарисуйте свой результат, используя GNUPlot.
Затем посмотрите, соответствует ли граф известной кривой.