Поддержка векторных машин - разделение гиперплоского вопроса

Из того, что я видел, похоже, что гиперплоскость разделения должна быть в форме

x.w + b = 0.

Я не очень хорошо это обозначил. Из того, что я понимаю, x.w является внутренним произведением, поэтому результат будет скаляром. Как может быть, что вы можете представить гиперплоскость скаляром + b? Я очень смущен этим.

Кроме того, даже если это было x + b = 0, не будет ли это гиперплоскости, проходящей прямо через начало координат? Из того, что я понимаю, разделительная гиперплоскость не всегда проходит через начало координат.

Ответ 1

Это уравнение (гипер) плоскости, использующее точку и вектор нормали.
Думайте о плоскости как о множестве точек P, так что вектор, переходящий из P0 в P, перпендикулярен нормали

Проверьте эти страницы для объяснения:

http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_%28geometry%29#Definition_with_a_point_and_a_normal_vector

Ответ 2

Представьте себе плоскость в 3d системе координат. Чтобы описать это, вам нужен нормальный вектор N этой плоскости и расстояние D плоскости до начала координат. Для простоты предположим, что нормальный вектор имеет единичную длину. Тогда уравнение для этой плоскости равно x.N - D = 0.

Объяснение: x.N можно визуализировать как проекцию x на нормальный вектор N. В результате длина вектора x параллельна N. Если эта длина равна D, точка x находится на плоскости.

Ответ 3

Определение точечного произведения (которое является скалярным произведением) имеет вид

x. y= | x | * | y | * cos (a)

Где a - наименьший угол между x и y.

Легко видеть, что x. y= 0, если a = 90 град (pi рад).

Это означает, что если у вас есть фиксированный нормальный вектор w, гиперплоскость, заданная:

x. w= 0

- это множество всех точек, которые x может "указывать на", учитывая, что x должен быть ортогонален w.

Теперь гиперплоскость, заданная:

x. w + b = 0

- это множество всех точек, в которых x может "указывать на" так, чтобы x. w является константой. Поскольку x увеличивается, x | увеличивается, угол, a, должен приближаться к 90 град (pi rad), cos (a) уменьшается, чтобы получить тот же постоянный результат. Если вы однако принимаете x, указывая в прямо противоположном направлении w, cos (a) = -1 и | x | = b (при условии, что w имеет единичную длину).

Оказывается, что плоскость, заданная этим набором точек, параллельна x. w= 0, а сдвинутое в пространстве расстояние -b (в направлении w) все еще задано, что w имеет единичную длину.

Этот ответ, вероятно, не поможет op, но, надеюсь, кто-то еще выиграет от него.