Я доказал некоторые свойства filter
и map
, все прошло неплохо, пока я не наткнулся на это свойство: filter p (map f xs) ≡ map f (filter (p ∘ f) xs)
. Вот часть кода, которая имеет значение:
open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Bool
open import Data.List hiding (filter)
import Level
filter : ∀ {a} {A : Set a} → (A → Bool) → List A → List A
filter _ [] = []
filter p (x ∷ xs) with p x
... | true = x ∷ filter p xs
... | false = filter p xs
Теперь, поскольку я люблю писать доказательства, используя модуль ≡-Reasoning
, первое, что я пробовал, было:
open ≡-Reasoning
open import Function
filter-map : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b}
(xs : List A) (f : A → B) (p : B → Bool) →
filter p (map f xs) ≡ map f (filter (p ∘ f) xs)
filter-map [] _ _ = refl
filter-map (x ∷ xs) f p with p (f x)
... | true = begin
filter p (map f (x ∷ xs))
≡⟨ refl ⟩
f x ∷ filter p (map f xs)
-- ...
Но, увы, это не сработало. Пробыв в течение часа, я, наконец, сдался и доказал это следующим образом:
filter-map (x ∷ xs) f p with p (f x)
... | true = cong (λ a → f x ∷ a) (filter-map xs f p)
... | false = filter-map xs f p
По-прежнему интересно, почему переход через ≡-Reasoning
не работал, я пробовал что-то очень тривиальное:
filter-map-def : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b}
(x : A) xs (f : A → B) (p : B → Bool) → T (p (f x)) →
filter p (map f (x ∷ xs)) ≡ f x ∷ filter p (map f xs)
filter-map-def x xs f p _ with p (f x)
filter-map-def x xs f p () | false
filter-map-def x xs f p _ | true = -- not writing refl on purpose
begin
filter p (map f (x ∷ xs))
≡⟨ refl ⟩
f x ∷ filter p (map f xs)
∎
Но typechecker не согласен со мной. Казалось бы, что текущая цель остается filter p (f x ∷ map f xs) | p (f x)
, и хотя шаблон, сопоставляемый с p (f x)
, filter
, просто не уменьшится до f x ∷ filter p (map f xs)
.
Есть ли способ сделать эту работу с ≡-Reasoning
?
Спасибо!