Скажем, у меня есть кривая Безье B(u), если я увеличиваю параметр u с постоянной скоростью, я не получаю перемещение скорости движения вдоль кривой, так как связь между параметром u и точкой, полученной при оценке кривой, не является линейной.
Я читал и реализовал статью Дэвида Эберли . В нем объясняется, как двигаться с постоянной скоростью по параметрической кривой.
Предположим, что у меня есть функция F(t), которая принимает в качестве входного значения значение времени t и функцию скорости sigma, которая возвращает значение скорости в момент t, я могу получить перемещение скорости транзакции вдоль кривой, изменяя параметр t с постоянной скоростью: B(F(t))
Ядро статьи, которую я использую, - это следующая функция:
float umin, umax; // The curve parameter interval [umin,umax].
Point Y (float u); // The position Y(u), umin <= u <= umax.
Point DY (float u); // The derivative dY(u)/du, umin <= u <= umax.
float LengthDY (float u) { return Length(DY(u)); }
float ArcLength (float t) { return Integral(umin,u,LengthDY()); }
float L = ArcLength(umax); // The total length of the curve.
float tmin, tmax; // The user-specified time interval [tmin,tmax]
float Sigma (float t); // The user-specified speed at time t.
float GetU (float t) // tmin <= t <= tmax
{
float h = (t - tmin)/n; // step size, `n' is application-specified
float u = umin; // initial condition
t = tmin; // initial condition
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// The divisions here might be a problem if the divisors are
// nearly zero.
float k1 = h*Sigma(t)/LengthDY(u);
float k2 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k1/2);
float k3 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k2/2);
float k4 = h*Sigma(t + h)/LengthDY(u + k3);
t += h;
u += (k1 + 2*(k2 + k3) + k4)/6;
}
return u;
}
Это позволяет мне вычислить параметр кривой u, рассчитанный с использованием времени t и сигма-функции.
Теперь функция отлично работает, когда сигма скорости является дорогостоящей. Если сигма представляет собой единое ускорение, я получаю неправильные значения от него.
Здесь приведен пример прямой кривой Безье, где P0 и P1 - контрольные точки, T0 T1 - касательная. Определенная кривая:
[x,y,z]= B(u) =(1–u)3P0 + 3(1–u)2uT0 + 3(1–u)u2T1 + u3P2
Скажем, я хочу знать положение вдоль кривой в момент времени t = 3.
Если я постоянная скорость:
float sigma(float t)
{
return 1f;
}
и следующие данные:
V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;
Я могу аналитически вычислить положение:
px = v0 * t = 1 * 3 = 3
Если я решаю одно и то же уравнение, используя сплайн Безье и алгоритм выше с n =5, я получаю:
px = 3.002595;
Учитывая численное приближение, значение является довольно точным (я сделал много тестов на этом.Я опускаю детали, но Безье моя реализация кривых прекрасна, и сама длина кривой вычисляется достаточно точно, используя Гауссовская квадратура).
Теперь, если я попытаюсь определить сигму как единую функцию ускорения, я получаю плохие результаты. Рассмотрим следующие данные:
V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;
Я могу вычислить время, когда частица достигнет P1, используя уравнения линейного движения:
L = 0.5 * (V0 + V1) * t1 =>
t1 = 2 * L / (V1 + V0) = 2 * 10 / 3 = 6.6666666
Имея t, я могу рассчитать ускорение:
a = (V1 - V0) / (t1 - t0) = (2 - 1) / 6.6666666 = 0.15
У меня есть все данные для определения моей сигма-функции:
float sigma (float t)
{
float speed = V0 + a * t;
}
Если аналитически решить это, я ожидаю следующую скорость частицы после времени t =3:
Vx = V0 + a * t = 1 + 0.15 * 3 = 1.45
и позиция будет:
px = 0.5 * (V0 + Vx) * t = 0.5 * (1 + 1.45) * 3 = 3.675
Но если я вычислил его с вышеописанным алоритом, результаты позиции:
px = 4.358587
что сильно отличается от ожидаемого.
Извините за длинный пост, если у кого хватит терпения прочитать его, я буду рад.
Есть ли у вас какие-либо предложения? Что мне не хватает? Кто-нибудь может сказать мне, что я делаю неправильно?
EDIT: Я пытаюсь с кривой 3D Безье. Определено следующим образом:
public Vector3 Bezier(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float a_3 = a_2 *a;
float t_2 = t * t;
Vector3 point = (P0 * a_3) + (3f * a_2 * t * T0) + (3f * a * t_2 * T1) + t_2 * t * P1 ;
return point;
}
и производная:
public Vector3 Derivative(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float t_2 = t * t;
float t6 = 6f*t;
Vector3 der = -3f * a_2 * P0 + 3f * a_2 * T0 - t6 * a * T0 - 3f* t_2 * T1 + t6 * a * T1 + 3f * t_2 * P1;
return der;
}
