Это похоже на невероятно простой и глупый вопрос, но все, что я нашел об этом, было слишком сложным для понимания.
У меня есть два основных элементарных уравнения:
X = 2x + 2z
Y = z - x
Учитывая, что я знаю как X, так и Y, как бы я мог найти x и z? Это очень легко сделать вручную, но я понятия не имею, как это будет сделано в коде.
Это кажется невероятно простым и глупым вопросом, чтобы спросить
Совсем нет. Это очень хороший вопрос, и к сожалению, это сложный ответ. Пусть решается
a * x + b * y = u
c * x + d * y = v
Я придерживаюсь случая 2x2. Более сложные случаи потребуют от вас использования библиотеки.
Прежде всего следует отметить, что формулы Крамера не подходят для использования. Когда вы вычисляете определитель
a * d - b * c
как только у вас есть a * d ~ b * c, вы получите катастрофическое отключение. Этот случай типичен, и вы должны защищать его.
Лучшим компромиссом между простотой и стабильностью является частичный поворот. Предположим, что |a| > |c|. Тогда система эквивалентна
a * c/a * x + bc/a * y = uc/a
c * x + d * y = v
который
cx + bc/a * y = uc/a
cx + dy = v
и теперь, вычитая первое ко второму, получаем
cx + bc/a * y = uc/a
(d - bc/a) * y = v - uc/a
который теперь легко решить: y = (v - uc/a) / (d - bc/a) и x = (uc/a - bc/a * y) / c. Вычисление d - bc/a более стабильное, чем ad - bc, потому что мы делимся на наибольшее число (это не очень очевидно, но оно выполняется - выполняйте вычисления с очень близкими коэффициентами, вы увидите, почему он работает).
Теперь, если |c| > |a|, вы просто меняете строки и выполняете аналогичные действия.
В коде (проверьте синтаксис Python):
def solve(a, b, c, d, u, v):
if abs(a) > abs(c):
f = u * c / a
g = b * c / a
y = (v - f) / (d - g)
return ((f - g * y) / c, y)
else
f = v * a / c
g = d * a / c
x = (u - f) / (b - g)
return (x, (f - g * x) / a)
Вы можете использовать полный поворот (вам нужно поменять местами x и y, чтобы первое деление всегда было самым большим коэффициентом), но это более громоздко для записи и почти никогда не требуется для случая 2x2.
Для случая nxn все элементы поворота инкапсулируются в LU-декомпозиция, и вы должны использовать библиотеку для этого.
@Alexandre, вы пропустили одно условие.. Вот окончательный код
void SolveLinearEquations (float a,float b,float c,float d,float u,float v, float &x, float &y)
{
float f;
float g;
if (abs(a) > abs(c))
{
f = u * c / a;
g = b * c / a;
y = (v - f) / (d - g);
if(c != 0)
x = (f - g * y) / c;
else
x = (u - b * y)/a;
}
else
{
f = v * a / c;
g = d * a / c;
x = (u - f) / (b - g);
if (a != 0)
y = (f - g * x) / a ;
else
y = (v - d * x)/c;
}
}
(1) ax + by = c
(2) dx + dy = f
(3)1*d adx + bdy = cd
(4)2*b abx + bdy = fb
(3)-(4) adx - abx = cd - fb
x(ad-ab) = cd - fb
x = (c*d - f*b)/(a*d-a*b) //use this equation for x
ax + by = c
by = c - ax
y = (c - a*x)/b //use this equation for y
Для некоторых может оказаться полезной следующая функция:
function solve(s1,s2){ //only works if coefficients > 0
str=s1 + " " +s2
str=str.replace(/[^0123456789.-]/g, ' ') //eliminate letters
str=str.replace( /\s\s+/g, ' ' ) //no double spaces
var n=str.split(" "); //put into an array
var a=0,b=1,c=2,d=3,e=4,f=5 //see what were doing
var x = ( n[c]*n[e] -n[b]*n[f])/(n[a]*n[e] - n[b]*n[d])
var y= (n[c]-n[a]*x)/n[b]
return({x:x, y:y})
}
Для использования:
result=solve("12x + 2y =32", "9x -5y=55")
alert (result.x+" ----- "+result.y)