Численное решение ODE в Python

Как я могу численно решить ODE в Python?

Рассмотрим

\ddot{u}(\phi) = -u + \sqrt{u}

со следующими условиями

u(0) = 1.49907

\dot{u}(0) = 0

с ограничением

0 <= \phi <= 7\pi.

Затем, наконец, я хочу создать параметрический график, в котором координаты x и y генерируются как функция u.

Проблема в том, что мне нужно запустить odeint дважды, так как это дифференциальное уравнение второго порядка. Я попытался запустить его после первого раза, но он вернулся с ошибкой якобиана. Должен быть способ запустить его дважды сразу.

Вот ошибка:

odepack.error: Функция и ее якобиан должны быть вызываемыми функциями

который генерирует код ниже. Линия, о которой идет речь, является золем = odeint.

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import linspace


def f(u, t):
    return -u + np.sqrt(u)


times = linspace(0.0001, 7 * np.pi, 1000)
y0 = 1.49907
yprime0 = 0
yvals = odeint(f, yprime0, times)

sol = odeint(yvals, y0, times)

x = 1 / sol * np.cos(times)
y = 1 / sol * np.sin(times)

plot(x,y)

plt.show()

Edit

Я пытаюсь построить график на стр. 9

Классическая механика Тейлор

Вот сюжет с Mathematica

In[27]:= sol = 
 NDSolve[{y''[t] == -y[t] + Sqrt[y[t]], y[0] == 1/.66707928, 
   y'[0] == 0}, y, {t, 0, 10*\[Pi]}];

In[28]:= ysol = y[t] /. sol[[1]];

In[30]:= ParametricPlot[{1/ysol*Cos[t], 1/ysol*Sin[t]}, {t, 0, 
  7 \[Pi]}, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2.5, 2.5}}]

Ответ 1

import scipy.integrate as integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

pi = np.pi
sqrt = np.sqrt
cos = np.cos
sin = np.sin

def deriv_z(z, phi):
    u, udot = z
    return [udot, -u + sqrt(u)]

phi = np.linspace(0, 7.0*pi, 2000)
zinit = [1.49907, 0]
z = integrate.odeint(deriv_z, zinit, phi)
u, udot = z.T
# plt.plot(phi, u)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(1/u*cos(phi), 1/u*sin(phi))
ax.set_aspect('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

Ответ 2

Код из другого question действительно близок к тому, что вы хотите. Требуются два изменения:

Вы решили другое ОДУ (потому что вы изменили два знака внутри функции deriv)
Компонент y вашего желаемого графика исходит из значений решения, а не из значений первой производной решения, поэтому вам нужно заменить u[:,0] (значения функции) на u[:, 1] (производные).

Это конечный результат:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

def deriv(u, t):
    return np.array([u[1], -u[0] + np.sqrt(u[0])])

time = np.arange(0.01, 7 * np.pi, 0.0001)
uinit = np.array([1.49907, 0])
u = odeint(deriv, uinit, time)

x = 1 / u[:, 0] * np.cos(time)
y = 1 / u[:, 0] * np.sin(time)

plt.plot(x, y)
plt.show()

Однако я предлагаю вам использовать код из ответа unutbu, поскольку он сам документирует (u, udot = z) и использует np.linspace вместо np.arange. Затем запустите это, чтобы получить желаемую цифру:

x = 1 / u * np.cos(phi)
y = 1 / u * np.sin(phi)
plt.plot(x, y)
plt.show()

Ответ 3

Вы можете использовать scipy.integrate.ode. Чтобы решить dy/dt = f (t, y), с начальным условием y (t0) = y0, в момент времени = t1 с 4-го порядка Runge-Kutta вы могли бы сделать что-то вроде этого:

from scipy.integrate import ode
solver = ode(f).set_integrator('dopri5')
solver.set_initial_value(y0, t0)
dt = 0.1
while t < t1:
    y = solver.integrate(t+dt)
    t += dt

Изменить: вы должны получить свою производную первую очередь для использования численного интегрирования. Это можно достичь, установив, например, z1 = u и z2 = du/dt, после чего у вас есть dz1/dt = z2 и dz2/dt = d ^ 2u/dt ^ 2. Подставим их в исходное уравнение и просто перейдем к вектору dZ/dt, который является первым порядком.

Изменить 2: Вот пример кода для всего:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from numpy import sqrt, pi, sin, cos
from scipy.integrate import ode

# use z = [z1, z2] = [u, u']
# and then f = z' = [u', u''] = [z2, -z1+sqrt(z1)]
def f(phi, z):
    return [z[1], -z[0]+sqrt(z[0])]


# initialize the 4th order Runge-Kutta solver
solver = ode(f).set_integrator('dopri5')

# initial value
z0 = [1.49907, 0.]
solver.set_initial_value(z0)

values = 1000
phi = np.linspace(0.0001, 7.*pi, values)
u = np.zeros(values)

for ii in range(values):
    u[ii] = solver.integrate(phi[ii])[0] #z[0]=u

x = 1. / u * cos(phi)
y = 1. / u * sin(phi)

plt.figure()
plt.plot(x,y)
plt.grid()
plt.show()

Ответ 4

scipy.integrate() интегрирует ODE. Это то, что вы ищете?