Рассмотрим функцию f (t), как я могу вычислить непрерывную диаграмму Фурье (w) и построить ее (используя numpy и matplotlib)?
Это или обратная задача (g (w), приведенная, график f (t) неизвестен) возникает, если не существует аналитического решения интеграла Фурье.
Вы можете использовать numpy FFT module для этого, но вам нужно сделать дополнительную работу. Сначала рассмотрим интеграл Фурье и дискретизируем его:
Здесь k, m - целые числа, а N - число точек данных для f (t). Используя эту дискретизацию, получим
Сумма в последнем выражении - это то же самое, что использует numpy Discrete Fourier Transformation (DFT) nump (см. раздел "Детали реализации" numpy FFT module). С помощью этих знаний мы можем написать следующий python script
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pl
#Consider function f(t)=1/(t^2+1)
#We want to compute the Fourier transform g(w)
#Discretize time t
t0=-100.
dt=0.001
t=np.arange(t0,-t0,dt)
#Define function
f=1./(t**2+1.)
#Compute Fourier transform by numpy FFT function
g=np.fft.fft(f)
#frequency normalization factor is 2*np.pi/dt
w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dt
#In order to get a discretisation of the continuous Fourier transform
#we need to multiply g by a phase factor
g*=dt*np.exp(-complex(0,1)*w*t0)/(np.sqrt(2*np.pi))
#Plot Result
pl.scatter(w,g,color="r")
#For comparison we plot the analytical solution
pl.plot(w,np.exp(-np.abs(w))*np.sqrt(np.pi/2),color="g")
pl.gca().set_xlim(-10,10)
pl.show()
pl.close()
Полученный график показывает, что script работает 