Является ли данный набор элементов группы множеством представителей смежного класса?

Я боюсь, что этот вопрос немного технический, но я надеюсь, что кто-то мог бы наткнуться на подобную тему или дать мне какой-то указатель.

Если G - группа (в смысле алгебраической структуры), а если g ₁,..., g _n - элементы группы G, то существует ли алгоритм (или функция в некоторой выделенной программе, например GAP), чтобы определить, существует ли подгруппа группы G, чтобы эти элементы составляли множество представителей для смежных классов подгруппы? (Мы можем считать, что G - группа перестановок и, возможно, даже полная симметричная группа.)

(Конечно, есть несколько алгоритмов для нахождения смежных классов данных подгрупп, таких как алгоритм Тодда-Коксера, это своего рода обратный вопрос.)

Спасибо, Daniele

Ответ 1

Единственное решение, которое я могу придумать, наивно. В принципе, если у вас есть элементы x1,...,xn, вы должны использовать GAP LowIndexSubgroupsFpGroup для перечисления всех подгрупп с индексом n (отбрасывая их с индексом < n). Затем вы проходите через каждую такую группу, генерируете смежные классы и проверяете, что каждый класс смежности содержит один из элементов.

Это все, о чем я мог думать. Мне было бы очень интересно, если бы вы придумали лучший подход.

Ответ 2

То, что вы пытаетесь определить, - это если существует подгруппа H группы G такая, что {g ₁,..., g _n} является a трансверсально смежных классов H. ie Множество представителей разбиения G на смежные классы H.

Сначала, теорема Лагранжа, | G | = | G: H | * | G |, где | G: H | = | G |/| H | является индексом подгруппы H группы G. Если {g ₁,..., g _n} действительно трансверсаль, то | G: H | = | {g ₁,..., g _n} |, поэтому первым тестом в вашем алгоритме должно быть n делит | G |.

Кроме того, поскольку g _i и g _j находятся в том же правом смежном классе, только если g _i g _j^-1 находится в H, вы можете затем проверить подгруппы с индексом n, чтобы убедиться, что они избегают g _i g _j^-1. Также обратите внимание, что (g _i g _j^-1) (g _j g _k^-1) = g _i g _k^-1 поэтому вы можете выбрать любое спаривание g <суб > ясуб > с.

Это должно быть достаточно, если n мало по сравнению с | G |.

Другой подход состоит в том, чтобы начать с того, что H является тривиальной группой и добавляет элементы множества H ^* = {h в G: h ^k!= g _i g _j^-1 для всех i, j, k; я!= j} к генераторам H до тех пор, пока вы не сможете больше добавить (т.е. до тех пор, пока он больше не будет подгруппой). Тогда H является максимальной подгруппой в G такой, что H является подмножеством H ^* . Если вы можете получить все такие H (и иметь их достаточно большими), то подгруппа, которую вы ищете, должна быть одной из них.

Этот подход будет работать лучше при больших n.

В любом случае неэкспоненциально-временный подход не очевиден.

EDIT: Я только что нашел здесь эту тему: http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Reference_desk/Archives/Mathematics/2009_April_18#Is_a_given_set_of_group_elements_a_set_of_coset_representatives.3F p >

Ответ 3

Несколько менее грубый подход состоял бы в том, чтобы перечислить все подгруппы индекса n, как предположил Ил-Бхима, а затем для каждой подгруппы проверить каждый x _i * x _j^-1 чтобы узнать, содержится ли он в подгруппе.

Элементы x1,..., xn будут представителями для подгруппы тогда и только тогда, когда EVERY product

x _i * x _j^-1 где (i!= j)

НЕ находится в подгруппе.

Этот тип проверки кажется более простым, чем создание всех смежных классов, и вычислительно быстрее.