Сколько дополнительных вызовов функций требует фил (n), если "LINE 3" удалена?

Ответ 1

Его легко вычислить. Старый код:

TO(0)=TO(1)=TO(2)=1
TO(n)=TO(n-1)+TO(n+2)+1

Новый код:

TN(0)=TN(1)=1
TN(n)=TN(n-1)+TN(n-2)+1

Разность вычисляется просто путем вычитания этих двух:

D(0)=D(1)=0
D(2)=3-1=2
D(n)=TN(n)-TO(n)=TN(n-1)+TN(n-2)+1-(TO(n-1)+TO(n+2)+1)
    =(TN(n-1)-TO(n-1))+(TN(n-2)-TN(n-2))+(1-1)
    =D(n-1)+D(n-2)

Это означает, что разница - это последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 0,0,2. Можно также вычислить для него выражение замкнутой формы.

Ответ 2

Требуется количество дополнительных вызовов: также Fibonacci.

0 0 2 2 4 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466

#include<iostream>
using namespace std;

int a = 0;
int b = 0;

int fib(int n) {
    a++;
  if(n == 0) return 0;
  if(n == 1) return 1;
  if(n == 2) return 1; //LINE 3 HERE <---

  return fib(n - 1) + fib(n - 2);
} 

int fib1(int n) {
    b++;
  if(n == 0) return 0;
  if(n == 1) return 1;

  return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    for(int i =0 ;i<15;i++)
    {
        fib(i);
        fib1(i);

        cout<<b-a<<" ";

        b = a = 0;
    }
}

ПРИМЕЧАНИЕ. Я думал, что это будет некоторая константа, но...

Ответ 3

Предположим, что нет третьей строки и вычислим f (3):

f(3) = f(2) + f(1)
f(1) = 1
f(2) = f(1) + f(0)
f(0) = 0
f(1) = 1

Теперь для вычисления f (2) требуется 3 вызова. Это была третья строка, тогда это будет сделано в 1 раз.

Сложность этого алгоритма (без третьей строки) составляет O(2^n). Когда вы добавляете строку 3, которая содержит явное решение для случая, когда n = 2, сложность становится O(2^(n-1)), что равно (1/2) * O(2^n)= kO(2^n), где koefficient k = 0.5. Если вы добавите явное решение для случая, когда n = 3, вы получите k = 0,25 и так далее. Когда вы добавляете явные решения p, сложность будет:

    1
O (--- * 2^n)
   2^p 

Это означает, что если вы будете вычислять ответ для n от 1 до n, и если вы сохраните все рассчитанные решения, вы получите p = n - 1, а алгоритм для каждого из шагов n и сложность будет 2*O(n).