Тейлора в R

Ответ 1

Вы можете использовать Ryacas для работы с системой компьютерной алгебры yacas (которую вы также необходимо будет установить)

Используя пример из виньетки

 library(Ryacas)
 # run   yacasInstall() if prompted to install yacas
 #
 yacas("texp := Taylor(x,0,3) Exp(x)")
 ## expression(x + x^2/2 + x^3/6 + 1)
 # or

Теперь, если вы хотите превратить это в функцию, которую вы можете дать значения x

myTaylor <- function(f, k, var,...){
  .call <- sprintf('texp := Taylor( %s, 0, %s) %s', var,k,f)
  result <- yacas(.call)
  foo <- function(..., print = FALSE){
    if(print){print(result)}
    Eval(result, list(...))}
  return(foo)
}
# create the function
foo <- myTaylor('Exp(x)', 3, 'x')
foo(x=1:5)
## [1]  2.666667  6.333333 13.000000 23.666667 39.333333
foo(x=1:5, print = TRUE)
## expression(x + x^2/2 + x^3/6 + 1)
## [1]  2.666667  6.333333 13.000000 23.666667 39.333333

Ответ 2

Сравните приведенное выше символическое решение с численным приближением Тейлора:

library(pracma)

p <- taylor(f = exp, x0 = 0, n = 4)             # Numerical coefficients 
# 0.1666667 0.5000000 1.0000000 1.0000000       # x^3/6 + x^2/2 + x + 1

polyval(p, 1:5)                                 # Evaluate the polynomial
# 2.66667  6.33333 13.00000 23.66667 39.33334   # exp(x) at x = 1:5

Ответ 3

В качестве продолжения рассмотрим:

 foo <- myTaylor('Exp(x)', 3, 'x')
sprintf('%2.15f',foo(x=1:5))
[1] "2.666666666666667"  "6.333333333333333"  "13.000000000000000"
[4] "23.666666666666664" "39.333333333333329"

p <- taylor(f = exp, x0 = 0, n = 3)
sprintf('%2.15f',polyval(p,1:5))
[1] "2.666666721845557"  "6.333333789579300"  "13.000001556539996"
[4] "23.666670376066413" "39.333340601497312"

Какой из них более точен, я оставлю читателю: -)

Ответ 4

Если вы запрашиваете приближение Тейлора на фоне распространения ошибки, вы можете попробовать "распространить" функцию моего пакета qpcR, который оценивает векторы символьных градиентов вместе с ковариационной матрицей в виде g * V * t(g) ( известная матричная нотация для распространения ошибок), что эквивалентно разложению Тейлора первого порядка.

Cheers, Андрей