Я написал этот блок кода, но он потребляет много времени, чтобы вычислить... Можете ли вы помочь мне найти эффективный способ сделать это?
int tag;
int* factors(int n)
{
int a[1000000];
for(int i=1;i<=n/2;i++)
if(n%i==0)
a[++tag]=i;
a[++tag]=n;
return(a);
}
Этот метод грубой силы очень здоров с точки зрения сложности... Есть ли более приемлемое решение этой проблемы?
До сих пор никто не придумал более быстрый алгоритм . Это не обязательно означает, что нет никого, поскольку, с другой стороны, также не доказано, что сделать это намного быстрее.
Одна оптимизация, которую вы, возможно, захотите учесть, состоит в том, что нет необходимости искать до n/2, вы можете уже остановить, когда достигнут sqrt (n).
... и не забудьте выбрать другое место хранения для своих номеров, если вы действительно хотите вернуть список всех кандидатов, как уже упоминалось в комментарии "chris".
EDIT:
Как мне было объявлено, что существует довольно большое количество доступных алгоритмов, которые с точки зрения временной сложности могут работать немного быстрее, чем тот, который вы спросили об этом, может быть указано, чтобы добавить еще несколько слов, чем приведенный короткий комментарий выше.
Несмотря на то, что, помимо очевидной возможности защитить некоторое время вычисления, просто запустив цикл с шагом 2 после первого деления его на нечетное число, есть еще некоторые другие трюки. Я не упомянул их как существенно быстрее в ответе, указанном выше.
Основная причина, которая привела к такому решению, заключается в том, что, например, сокращение числа итераций в два раза в два раза кажется большим выигрышем по сравнению с ожидаемым ростом времени выполнения с ростом числа члены константы становятся настолько малыми, что в теории сложности даже не будет иметь никакого значения вообще, и оба алгоритма будут иметь (почти) одинаковые временные сложности.
Даже если бы можно было получить усиление константа в сотни миллиардов раз времени выполнения исходного алгоритма, все равно не было бы никакой разницы между ними обоими.
Чем больше числа, тем меньше влияние на любую константу будет такой большой, как вы когда-либо сможете воспроизводить изображения с точки зрения времени выполнения, если она также быстро растет с величиной числа, которое вы адресуете.
Один очень специальный барьер с точки зрения временной сложности, который часто рассматривается как граница между практически осуществимым и просто невозможным, - это так называемое время polynomial.
Это означает не что иное, как несмотря на то, что время выполнения может резко расти с ростом n, все же можно описать этот рост с помощью показателя константа k, так что время выполнения - это что-то вокруг n^k.
С другой стороны, алгоритм без polynomial runtime не может быть измерен каким-либо показателем, насколько велика вы можете его сделать.
Чтобы привести пример, почему это различие действительно может иметь значение, давайте взглянем на два мнимых алгоритма. Первый, имеющий полиномиальное время выполнения, скажем n^10, а еще один говорит об этом со временем выполнения n!.
Хотя для небольших чисел это не кажется плохим, допустим, что n - всего 10 здесь, алгоритм занимает единицы времени 10^10 = 10000000000, тогда как только единицы 3628800, наш второй алгоритм работает даже намного быстрее.
Проблема с нашим алгоритмом 2 заключается в том, что по сравнению с алгоритмом один его время работы будет расти значительно быстрее. В n=100 вы получите что-то вроде: 100000000000000000000 для алгоритма, тогда как для второго алгоритма это уже что-то вроде 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000.
Нажав границы еще на n=1000, мы получим: алгоритм один в 1000000000000000000000000000000, а наш второй алгоритм возьмет что-то вроде 402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
Если вы не верите, просто вычислите его самостоятельно. В руководстве bc даже содержится пример того, как реализовать факториальную функцию.
Но не получайте головокружения при подсчете цифр... Было бы интересно узнать, сколько конечных нулей нам нужно было бы добавить до 10, чтобы получить коэффициент, с помощью которого можно умножить возраст нашей вселенной на такой большой промежуток времени, даже если бы мы измерялись в единицах планковского времени. К сожалению, я не знаю.
Интересно, что до сих пор не существует известного алгоритма, который может выполнять факторизацию в polynomial времени.
Поскольку не только интересная область исследований сама по себе практическая невозможность факторизации больших целых чисел также играет важную роль в алгоритме шифрования открытых ключей RSA, который широко используется сегодня, поэтому почти естественно в этой области уже много решаров.
Обнаружение алгоритмов, которые (без нарушения вышеперечисленного барьера) работают sligthly быстрее, чем предполагаемый алгоритм.
Как "Jim Balter" alredy, правильно аннотированный в его комментарии, вы можете взглянуть на указанную статью (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization#General-purpose), чтобы взглянуть на методы, которые другие уже придумали.
Эта статья, также упомянутая "Джим", может быть еще одним интересным ресурсом: (см.: Какой самый быстрый алгоритм факторизации?)
Еще одна интересная ссылка, на которую можно обратить внимание, - это список победителей прошлых лет, претендующих на факторинг RSA, чтобы как-то понять, где граница между возможными и почти невозможными может оказаться сегодня. (http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge)