Ответ 1

Если важно время (а не методы программирования):

function f = fib(n)
if (n == 1)
   f = 1;
elseif (n == 2)
   f = 2;
else
   fOld = 2;
   fOlder = 1;
   for i = 3 : n
     f = fOld + fOlder;
     fOlder = fOld;
     fOld = f;
   end
end
end

tic;fib(40);toc; ans = 165580141; Elapsed time is 0.000086 seconds.

Вы даже можете использовать uint64. n = 92 - это самое большее, что вы можете получить от uint64:

tic;fib(92);toc; ans = 12200160415121876738; Elapsed time is 0.001409 seconds.

Поскольку,

fib(93) = 19740274219868223167 > intmax('uint64') = 18446744073709551615

Изменить

Чтобы получить fib(n) до n = 183, можно использовать два uint64 как одно число,

со специальной функцией для суммирования,

function [] = fib(n)
fL = uint64(0);
fH = uint64(0);
MaxNum = uint64(1e19);
if (n == 1)
   fL = 1;
elseif (n == 2)
   fL = 2;
else   
   fOldH = uint64(0);
   fOlderH = uint64(0);
   fOldL = uint64(2);
   fOlderL = uint64(1);
   for i = 3 : n
      [fL q] = LongSum (fOldL , fOlderL , MaxNum);
      fH = fOldH + fOlderH + q;
      fOlderL = fOldL;
      fOlderH = fOldH;
      fOldL = fL;
      fOldH = fH;
   end
 end
 sprintf('%u',fH,fL)
 end

LongSum:

function [s q] = LongSum (a, b, MaxNum)
if a + b >= MaxNum
   q = 1;
   if a >= MaxNum
      s = a - MaxNum;
      s = s + b;
   elseif b >= MaxNum
      s = b - MaxNum;
      s = s + a;
   else
      s = MaxNum - a;
      s = b - s;
   end
else
   q = 0;
   s = a + b;
end

Примечание некоторые осложнения в LongSum могут показаться ненужными, но это не так!

(Вся сделка с внутренним if заключается в том, что я хотел избежать s = a + b - MaxNum в одной команде, потому что он может переполнять и хранить нерелевантное число в s)

Результаты

tic;fib(159);toc; Elapsed time is 0.009631 seconds.

ans = 1226132595394188293000174702095995

tic;fib(183);toc; Истекшее время - 0,009735 секунд.

fib (183) = 127127879743834334146972278486287885163

Однако вы должны быть осторожны в отношении sprintf.

Я также сделал это с тремя uint64, и я мог бы подняться,

tic;fib(274);toc; Истекшее время - 0.032249 секунд.

ans = 1324695516964754142521850507284930515811378128425638237225

(Это почти тот же код, но я мог бы поделиться им, если вам интересно).

Примечание, что у нас есть fib(1) = 1 , fib(2) = 2 в соответствии с вопросом, в то время как это чаще встречается с fib(1) = 1 , fib(2) = 1, первые 300 фибов перечислены здесь (спасибо @Rick T).

Ответ 2

Похоже, что ряд фибоначчи следует за golden ratio, о чем подробно говорится here.

Это было использовано в этот код обмена файлами MATLAB, и я пишу здесь, просто из-за этого -

sqrt5 = sqrt(5);
alpha = (1 + sqrt5)/2;   %// alpha = 1.618... is the golden ratio
fibs  = round( alpha.^n ./ sqrt5 )

Вы можете передать целое число в n для номера nth в Fibonacci Series или передать массив 1:n для всей серии.

Обратите внимание, что этот метод сохраняется до n = 69.

Ответ 3

Если у вас есть доступ к Symbolic Math Toolbox в MATLAB, вы всегда можете просто call функция Fibonacci из MuPAD:

>> fib = @(n) evalin(symengine, ['numlib::fibonacci(' num2str(n) ')'])
>> fib(274)
ans =
818706854228831001753880637535093596811413714795418360007

Это довольно быстро:

>> timeit(@() fib(274))
ans =
    0.0011

Плюс вы можете пойти на столько больших, сколько хотите (ограничено только тем, сколько у вас RAM!), оно все еще быстро вспыхивает:

% see if you can beat that!
>> tic
>> x = fib(100000);
>> toc               % Elapsed time is 0.004621 seconds.

% result has more than 20 thousand digits!
>> length(char(x))   % 20899

Вот полное значение fib(100000): http://pastebin.com/f6KPGKBg

Ответ 4

Чтобы достичь больших чисел, вы можете использовать символическое вычисление. В Matlab R2010b работает следующее.

syms x y %// declare variables
z = x + y;  %// define formula
xval = '0'; %// initiallize x, y values
yval = '1'; 
for n = 2:300
    zval = subs(z, [x y], {xval yval}); %// update z value
    disp(['Iteration ' num2str(n) ':'])
    disp(zval)
    xval = yval; %// shift values
    yval = zval;
end

Ответ 5

Одна проблема с производительностью заключается в том, что вы используете рекурсивное решение. Итеративный метод избавит вас от аргумента, передаваемого для каждого вызова функции. Как отметил Оливье, это уменьшит сложность до линейного.

Вы также можете посмотреть здесь. По-видимому, существует формула, которая вычисляет n-й член последовательности Фибоначчи. Я тестировал его до 50-го элемента. Для более высоких значений n это не очень точно.

Ответ 6

Вы можете сделать это в O (log n) раз с увеличением экспоненты матрицы:

X = [0 1
     1 1]

X ^ n даст вам n-е число фибоначчи в нижнем правом углу; X ^ n можно представить в виде произведения нескольких матриц X ^ (2 ^ i), поэтому, например, X ^ 11 будет X ^ 1 * X ^ 2 * X ^ 8, я <= log_2 (n). И X ^ 8 = (X ^ 4) ^ 2 и т.д., Поэтому не более 2 * log (n) матричных умножений.

Ответ 7

Реализация быстрого вычисления Фибоначчи в Python может быть следующей. Я знаю, что это Python, а не MATLAB/Octave, однако это может быть полезно.

В принципе, вместо того, чтобы снова и снова вызывать одну и ту же функцию Фибоначчи с помощью O (2 ⁿ), мы сохраняем последовательность Фибоначчи в списке/массиве с O (n):

#!/usr/bin/env python3.5

class Fib:
    def __init__(self,n):
        self.n=n
        self.fibList=[None]*(self.n+1)
        self.populateFibList()
    def populateFibList(self):
        for i in range(len(self.fibList)):
            if i==0:
                self.fibList[i]=0
            if i==1:
                self.fibList[i]=1
            if i>1:
                self.fibList[i]=self.fibList[i-1]+self.fibList[i-2]
    def getFib(self):
        print('Fibonacci sequence up to ', self.n, ' is:')
        for i in range(len(self.fibList)):
            print(i, ' : ', self.fibList[i])
        return self.fibList[self.n]

def isNonnegativeInt(value):
    try:
        if int(value)>=0:#throws an exception if non-convertible to int: returns False
            return True
        else:
            return False
    except:
        return False

n=input('Please enter a non-negative integer: ')

while isNonnegativeInt(n)==False:
    n=input('A non-negative integer is needed: ')

n=int(n) # convert string to int

print('We are using ', n, 'based on what you entered')

print('Fibonacci result is ', Fib(n).getFib())

Вывод для n=12 будет выглядеть следующим образом:

Я тестировал время выполнения для n=100, 300, 1000, и код действительно быстрый, мне даже не нужно ждать выхода.