Haskell: Недостаток в описании законов аппликативного функтора в хакете Control.Applicative article?: it says Applicative определяет Functor

Я думаю, что я нашел ошибку в статье хака для Control.Applicative. В качестве описания законов прикладного функтора говорится:

class Functor f => Applicative f where

Функтор с применением, обеспечивающий операции вставлять чистые выражения (pure) и вычислять последовательности и комбинировать их результаты (<*>).

Минимальное полное определение должно включать реализацию этих функций, удовлетворяющих следующим законам:

идентичность

pure id <*> v = v

Состав

pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)

гомоморфизм

pure f <*> pure x = pure (f x)

взаимообмен

u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

(обратите внимание, что это ничего не говорит о fmap), и он утверждает, что эти законы определяют экземпляр Functor:

Как следствие этих законов, экземпляр Functor для f будет удовлетворять

fmap f x = pure f <*> x

Я подумал, что сначала это было явно неправильно. То есть, я догадался, что должен существовать конструктор типа t, удовлетворяющий следующим двум условиям:

• t является экземпляром Applicative, выполняющим приведенные выше правила, и
• Существуют две различные реализации instance (Functor t) (т.е. существуют две различные функции fmap1, fmap2 :: (a->b) -> (t a->t b),  удовлетворяющих законам функтора).

Если (и только в том случае, если) выше, то это утверждение должно быть переписано на

Экземпляр Functor для f должен удовлетворять

fmap f x = pure f <*> x

Как следствие этих законов, это удовлетворяет законам Functor.

что явно правильно, независимо от того, правильна ли моя догадка или нет.

Мой вопрос: моя догадка правильная? Существует ли t с требуемыми условиями?

---

Далее следует объяснение того, что я думал при попытке ответить на этот вопрос сам.

Если бы мы были просто математиками, не заинтересованными в реальном программировании Haskell, мы могли бы легко ответить на этот вопрос утвердительно. Фактически,

t = Identity
newtype Identity a = Identity {runIdentity :: a}

соответствует требованиям 1 и 2 выше (фактически, почти все будет сделано). Действительно, Identity тривиально является экземпляром Functor и Applicative, как определено в Data.Functor.Identity. (Это удовлетворяет fmap f = (pure f <*>).) Чтобы определить другую "реализацию" instance (Functor f), возьмем для каждого типа a две функции

transf_a, tinv_a :: a -> a

такое, что

tinv_a . transf_a = id

(Это теоретически теоретически легко). Теперь определите

instance (Functor Identity) where
 fmap (f :: a->b) = Identity . transf_b . f . tinv_a . runIdentity

Это удовлетворяет законам Functor и является другой реализацией от тривиального, если есть

x :: a
f :: a -> b

такое, что

f x /= transf_b $ f $ tinv_a x

Но совершенно не очевидно, можем ли мы сделать это в Haskell. Есть что-то вроде:

class (Isom a) where
 transf, tinv :: a -> a

instance (Isom a) where
 transf = id
 tinv = id

specialized instance (Isom Bool) where
 transf = not
 tinv = not

возможно в Haskell?

---

Изменить

Я забыл написать что-то очень важное. Я признаю Control.Applicative как часть базового пакета GHC, поэтому меня также интересует, изменяется ли ответ на мой вопрос с любыми языковыми расширениями GHC, такими как FlexibleInstances или OverlappingInstances, которые я пока не понимаю.