Алгоритм нахождения, если два набора множеств чисел изоморфны или нет (при перестановке)

Ответ 1

Как отмечалось в комментариях, это может соответствовать теоретико-графическим проблемам, которые все еще изучаются в отношении сложности и алгоритмов, которые могут быть использованы для их решения.

Однако сложность всегда относится к некоторому размеру ввода. И здесь, неясно, каков ваш размер ввода. В качестве примера: я думаю, что наиболее подходящий алгоритм может зависеть от того, собираетесь ли вы масштабироваться...

• количество чисел (1... 9 в вашем примере) или
• количество наборов в каждом наборе (3 в вашем примере) или
• размер наборов в наборах (5, в вашем примере)

Используя ваш текущий подход, масштабирование числа чисел было бы невозможным, потому что вы не можете вычислить все перестановки для чисел, намного превышающих 9 из-за экспоненциального времени работы. Но если бы ваше намерение состояло в проверке изоморфности множеств, содержащих 1000 множеств, алгоритм, который был многочлен числа наборов (если бы такой алгоритм существовал), по-прежнему может быть медленнее на практике.

Здесь я хотел бы набросать подход, который я пробовал. Я не выполнил подробный анализ сложности (что может быть бессмысленным, если вообще не существует решения полиномиального времени - и доказать или опровергнуть, что не может быть предметом ответа здесь).

Основная идея заключается в следующем:

Сначала вы вычисляете действительные "домены" для каждого номера входа. Это возможные значения, на которые можно сопоставить каждый номер на основе перестановки. Если заданные числа равны 1,2 и 3, то домены изначально могли бы быть

1 -> { 1, 2, 3 }
2 -> { 1, 2, 3 }
3 -> { 1, 2, 3 }

Но для данных множеств уже можно получить некоторую информацию, которая позволяет уменьшить домены. Например: любое число, которое появляется n раз в первых наборах, должно быть сопоставлено с числом, которое появляется n раз во вторых наборах.

Предположим, что заданные множества

{{1,2},{1,3}}
{{3,1},{3,2}}

Тогда домены будут только

1 -> { 3 }
2 -> { 1, 2 }
3 -> { 1, 2 }

потому что 1 появляется дважды в первых наборах, и единственное значение, которое появляется дважды во вторых наборах, это 3.

После вычисления начальных доменов можно выполнить откат возможных назначений (перестановок) чисел. Откат можно грубо сделать как

for (each number n that has no permutation value assigned) {
    assign a permutation value (from the current domain of n) to n
    update the domains of all other numbers
    if the domains are no longer valid, then backtrack
    if the solution was found, then return it
}

(Идея каким-то образом "вдохновлена" Arc Consistency 3 Algorithm, хотя технически проблемы напрямую не связаны)

Во время обратного отсчета можно использовать различные критерии отсечения. То есть можно подумать о различных трюках, чтобы быстро проверить, являются ли определенные назначения (частичная перестановка) и домены, которые подразумеваются этим назначением, "действительными" или нет.

Очевидным (необходимым) критерием правильности присвоения является то, что ни одна из доменов не может быть пуста. В более общем плане: каждый домен может не отображаться чаще, чем количество содержащихся в нем элементов. Когда вы узнаете, что домены

1 -> { 4 }
2 -> { 2,3 }
3 -> { 2,3 }
4 -> { 2,3 }

тогда уже не может быть корректного решения, и алгоритм может отследить назад.

Конечно, bactracking имеет тенденцию иметь экспоненциальную сложность во входном размере. Но, возможно, просто нет эффективного алгоритма для этой проблемы. В этом случае обрезка, которая может использоваться во время обратного отсчета, может по меньшей мере помочь сократить время работы для определенных случаев (или для небольших размеров ввода в целом) по сравнению с обычным поиском грубой силы.

Вот реализация моих экспериментов на Java. Это не особенно элегантно, но показывает, что он в основном работает: он быстро находит решение, если он существует, и (для заданных размеров ввода) не требуется много времени, чтобы обнаружить, когда нет решения.

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collection;
import java.util.Collections;
import java.util.Comparator;
import java.util.LinkedHashMap;
import java.util.LinkedHashSet;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.Map.Entry;
import java.util.Set;

public class SetSetIsomorphisms
{
    public static void main(String[] args)
    {
        Map<Integer, Integer> p = new LinkedHashMap<Integer, Integer>();
        p.put(0, 3);
        p.put(1, 4);
        p.put(2, 8);
        p.put(3, 2);
        p.put(4, 1);
        p.put(5, 5);
        p.put(6, 0);
        p.put(7, 9);
        p.put(8, 7);
        p.put(9, 6);

        Set<Set<Integer>> sets0 = new LinkedHashSet<Set<Integer>>();
        sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(1,2,3,4,5)));
        sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(2,4,5,6,7)));
        sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(0,8,3,9,7)));

        Set<Set<Integer>> sets1 = new LinkedHashSet<Set<Integer>>();
        for (Set<Integer> set0 : sets0)
        {
            sets1.add(applyMapping(set0, p));
        }

        // Uncomment these lines for a case where NO permutation is found
        //sets1.remove(sets1.iterator().next());
        //sets1.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(4,8,2,3,5)));


        System.out.println("Initially valid? "+
            areIsomorphic(sets0, sets1, p));


        boolean areIsomorphic = areIsomorphic(sets0, sets1);
        System.out.println("Result: "+areIsomorphic);
    }

    private static <T> boolean areIsomorphic(
        Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1)
    {
        System.out.println("sets0:");
        for (Set<T> set0 : sets0)
        {
            System.out.println("    "+set0);
        }
        System.out.println("sets1:");
        for (Set<T> set1 : sets1)
        {
            System.out.println("    "+set1);
        }

        Set<T> all0 = flatten(sets0);
        Set<T> all1 = flatten(sets1);

        System.out.println("All elements");
        System.out.println("    "+all0);
        System.out.println("    "+all1);

        if (all0.size() != all1.size())
        {
            System.out.println("Different number of elements");
            return false;
        }

        Map<T, Set<T>> domains = computeInitialDomains(sets0, sets1);

        System.out.println("Domains initially:");
        print(domains, "");

        Map<T, T> assignment = new LinkedHashMap<T, T>();
        return compute(assignment, domains, sets0, sets1, "");
    }

    private static <T> Map<T, Set<T>> computeInitialDomains(
        Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1)
    {
        Set<T> all0 = flatten(sets0);
        Set<T> all1 = flatten(sets1);
        Map<T, Set<T>> domains = new LinkedHashMap<T, Set<T>>();
        for (T e0 : all0)
        {
            Set<T> domain0 = new LinkedHashSet<T>();
            for (T e1 : all1)
            {
                if (isFeasible(e0, sets0, e1, sets1))
                {
                    domain0.add(e1);
                }
            }
            domains.put(e0, domain0);
        }
        return domains; 
    }

    private static <T> boolean isFeasible(
        T e0, Set<Set<T>> sets0,
        T e1, Set<Set<T>> sets1)
    {
        int c0 = countContaining(sets0, e0);
        int c1 = countContaining(sets1, e1);
        return c0 == c1;
    }

    private static <T> int countContaining(Set<Set<T>> sets, T value)
    {
        int count = 0;
        for (Set<T> set : sets)
        {
            if (set.contains(value))
            {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }


    private static <T> boolean compute(
        Map<T, T> assignment, Map<T, Set<T>> domains, 
        Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1, String indent)
    {
        if (!validCounts(domains.values()))
        {
            System.out.println(indent+"There are too many domains "
                + "with too few elements");
            print(domains, indent);
            return false;
        }
        if (assignment.keySet().equals(domains.keySet()))
        {
            System.out.println(indent+"Found assignment: "+assignment);
            return true;
        }

        List<Entry<T, Set<T>>> entryList = 
            new ArrayList<Map.Entry<T,Set<T>>>(domains.entrySet());
        Collections.sort(entryList, new Comparator<Map.Entry<T,Set<T>>>()
        {
            @Override
            public int compare(Entry<T, Set<T>> e0, Entry<T, Set<T>> e1)
            {
                return Integer.compare(
                    e0.getValue().size(), 
                    e1.getValue().size());
            }
        });
        for (Entry<T, Set<T>> entry : entryList)
        {
            T key = entry.getKey();
            if (assignment.containsKey(key))
            {
                continue;
            }
            Set<T> domain = entry.getValue();
            for (T value : domain)
            {
                Map<T, Set<T>> newDomains = copy(domains);
                removeFromOthers(newDomains, key, value);
                assignment.put(key, value);
                newDomains.get(key).clear();
                newDomains.get(key).add(value);

                System.out.println(indent+"Using "+assignment);

                Set<Set<T>> setsContainingKey = 
                    computeSetsContainingValue(sets0, key);
                Set<Set<T>> setsContainingValue = 
                    computeSetsContainingValue(sets1, value);
                Set<T> keyElements = flatten(setsContainingKey);
                Set<T> valueElements = flatten(setsContainingValue);

                for (T otherKey : keyElements)
                {
                    Set<T> otherValues = newDomains.get(otherKey);
                    otherValues.retainAll(valueElements);
                }

                System.out.println(indent+"Domains when "+assignment);
                print(newDomains, indent);

                boolean done = compute(assignment, newDomains, 
                    sets0, sets1, indent+"  ");
                if (done)
                {
                    return true;
                }
                assignment.remove(key);
            }
        }
        return false;
    }


    private static boolean validCounts(
        Collection<? extends Collection<?>> collections)
    {
        Map<Collection<?>, Integer> counts = 
            new LinkedHashMap<Collection<?>, Integer>();
        for (Collection<?> c : collections)
        {
            Integer count = counts.get(c);
            if (count == null)
            {
                count = 0;
            }
            counts.put(c, count+1);
        }
        for (Entry<Collection<?>, Integer> entry : counts.entrySet())
        {
            Collection<?> c = entry.getKey();
            Integer count = entry.getValue();
            if (count > c.size())
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }


    private static <K, V> Map<K, Set<V>> copy(Map<K, Set<V>> map)
    {
        Map<K, Set<V>> copy = new LinkedHashMap<K, Set<V>>();
        for (Entry<K, Set<V>> entry : map.entrySet())
        {
            K k = entry.getKey();
            Set<V> values = entry.getValue();
            copy.put(k, new LinkedHashSet<V>(values));
        }
        return copy;
    }

    private static <T> Set<Set<T>> computeSetsContainingValue(
        Iterable<? extends Set<T>> sets, T value)
    {
        Set<Set<T>> containing = new LinkedHashSet<Set<T>>();
        for (Set<T> set : sets)
        {
            if (set.contains(value))
            {
                containing.add(set);
            }
        }
        return containing;
    }

    private static <T> void removeFromOthers(
        Map<T, Set<T>> map, T key, T value)
    {
        for (Entry<T, Set<T>> entry : map.entrySet())
        {
            if (!entry.getKey().equals(key))
            {
                Set<T> values = entry.getValue();
                values.remove(value);
            }
        }
    }

    private static <T> Set<T> flatten(
        Iterable<? extends Collection<? extends T>> collections)
    {
        Set<T> set = new LinkedHashSet<T>();
        for (Collection<? extends T> c : collections)
        {
            set.addAll(c);
        }
        return set;
    }




    private static <T> Set<T> applyMapping(
        Set<T> set, Map<T, T> map)
    {
        Set<T> result = new LinkedHashSet<T>();
        for (T e : set)
        {
            result.add(map.get(e));
        }
        return result;
    }

    private static <T> boolean areIsomorphic(
        Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1, Map<T, T> p)
    {
        for (Set<T> set0 : sets0)
        {
            Set<T> set1 = applyMapping(set0, p);
            if (!sets1.contains(set1))
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    private static void print(Map<?, ?> map, String indent)
    {
        for (Entry<?, ?> entry : map.entrySet())
        {
            System.out.println(indent+entry.getKey()+": "+entry.getValue());
        }
    }

}

Ответ 2

Я считаю, что ваша проблема эквивалентна проблеме изоморфизма графа (GI). Ваш набор наборов может быть смоделирован как (двудольный) граф с узлами, представляющими базовые значения вашего набора (например, 1, 2, 3,... 7), а узлы справа представляют собой множества (например, {1, 2,3,4,6} или {2,3,5,6,7}). Нарисуйте ребро, соединяющее node слева с node справа, если число является элементом набора; в моем примере 1 подключен только к {1,2,3,4,6}, а 2 подключен как к {1,2,3,4,6}, так и к {2,3,5,6,7}, 1 подключен ко всем наборам, которые его содержат; {1,2,3,4,6} связано со всеми содержащимися в нем числами.

Любой двудольный граф может быть реализован таким образом. Напротив, GI можно свести к решению GI на двудольных графах. (Любой граф можно преобразовать в двудольный граф, заменив каждое ребро двумя новыми ребрами и новой вершиной. Изоморфизм в полученных двудольных графах эквивалентен изоморфизму в исходных графах.)

GI находится в NP, но неизвестно, является ли он полным. На практике GI можно быстро решить для сотен вершин, например, NAUTY.