Как создать произвольную ортонормированную матрицу в python numpy

Ответ 1

Это метод rvs извлеченный из rvs https://github.com/scipy/scipy/pull/5622//, с минимальными изменениями - достаточный для запуска в качестве отдельной функции numpy.

import numpy as np    

def rvs(dim=3):
     random_state = np.random
     H = np.eye(dim)
     D = np.ones((dim,))
     for n in range(1, dim):
         x = random_state.normal(size=(dim-n+1,))
         D[n-1] = np.sign(x[0])
         x[0] -= D[n-1]*np.sqrt((x*x).sum())
         # Householder transformation
         Hx = (np.eye(dim-n+1) - 2.*np.outer(x, x)/(x*x).sum())
         mat = np.eye(dim)
         mat[n-1:, n-1:] = Hx
         H = np.dot(H, mat)
         # Fix the last sign such that the determinant is 1
     D[-1] = (-1)**(1-(dim % 2))*D.prod()
     # Equivalent to np.dot(np.diag(D), H) but faster, apparently
     H = (D*H.T).T
     return H

Это соответствует тесту Уоррена, fooobar.com/questions/558170/...

Ответ 2

Версия 0.18 scipy имеет scipy.stats.ortho_group и scipy.stats.special_ortho_group. Запрос на растяжение, где он был добавлен, https://github.com/scipy/scipy/pull/5622

Например,

In [24]: from scipy.stats import ortho_group  # Requires version 0.18 of scipy

In [25]: m = ortho_group.rvs(dim=3)

In [26]: m
Out[26]: 
array([[-0.23939017,  0.58743526, -0.77305379],
       [ 0.81921268, -0.30515101, -0.48556508],
       [-0.52113619, -0.74953498, -0.40818426]])

In [27]: np.set_printoptions(suppress=True)

In [28]: m.dot(m.T)
Out[28]: 
array([[ 1.,  0., -0.],
       [ 0.,  1.,  0.],
       [-0.,  0.,  1.]])

Ответ 3

Вы можете получить случайную nxn ортогональную матрицу Q (равномерно распределенную по многообразию nxn ортогональных матриц), выполнив QR факторизацию матрицы nxn с элементами, имеющими гауссовские случайные величины со средним значением 0 и дисперсией 1. Вот пример:

import numpy as np
from scipy.linalg import qr

n = 3
H = np.random.randn(n, n)
Q, R = qr(H)

print (Q.dot(Q.T))

[[  1.00000000e+00  -2.77555756e-17   2.49800181e-16]
 [ -2.77555756e-17   1.00000000e+00  -1.38777878e-17]
 [  2.49800181e-16  -1.38777878e-17   1.00000000e+00]]

РЕДАКТИРОВАТЬ: (Возвращаясь к этому ответу после комментария @g g.) Приведенное выше утверждение о QR-разложении гауссовой матрицы, обеспечивающей равномерно распределенную (по так называемому многообразию Штифеля) ортогональную матрицу, предложено в теоремах 2.3.18- 19 из этой ссылки. Отметим, что утверждение результата предполагает "QR-подобное" разложение, однако с треугольной матрицей R имеющей положительные элементы.

По-видимому, функция qr функции scipy (numpy) не гарантирует положительных диагональных элементов для R и соответствующий Q фактически не является равномерно распределенным. Это было отмечено в этой монографии, гл. 4.6 (обсуждение относится к MATLAB, но я полагаю, что и MATLAB, и scipy используют одни и те же процедуры LAPACK). Предполагается, что матрица Q предоставленная qr, модифицируется путем умножения ее на случайную унитарную диагональную матрицу.

Ниже я воспроизвожу эксперимент в приведенной выше ссылке, построив график эмпирического распределения (гистограммы) фаз собственных значений "прямой" Q матрицы, предоставленной qr, а также "модифицированной" версии, где видно, что модифицированная версия делает действительно имеют однородную фазу собственных значений, как и следовало ожидать от равномерно распределенной ортогональной матрицы.

from scipy.linalg import qr, eigvals
from seaborn import distplot

n = 50
repeats = 10000

angles = []
angles_modified = []
for rp in range(repeats):
    H = np.random.randn(n, n)
    Q, R = qr(H)
    angles.append(np.angle(eigvals(Q)))
    Q_modified = Q @ np.diag(np.exp(1j * np.pi * 2 * np.random.rand(n)))
    angles_modified.append(np.angle(eigvals(Q_modified))) 

fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize = (10,3))
distplot(np.asarray(angles).flatten(),kde = False, hist_kws=dict(edgecolor="k", linewidth=2), ax= ax[0])
ax[0].set(xlabel='phase', title='direct')
distplot(np.asarray(angles_modified).flatten(),kde = False, hist_kws=dict(edgecolor="k", linewidth=2), ax= ax[1])
ax[1].set(xlabel='phase', title='modified');

Ответ 4

если вы хотите, чтобы квадратная матрица не имела ортонормированных векторов столбцов, вы могли бы создать квадрат с любым из указанных методов и удалить некоторые столбцы.

Ответ 5

from scipy.stats import special_ortho_group
num_dim=3
x = special_ortho_group.rvs(num_dim)

Документация

Ответ 6

Простой способ создания ортогональной матрицы любой формы (nxm):

import numpy as np

n, m = 3, 5

H = np.random.rand(n, m)
u, s, vh = np.linalg.svd(H, full_matrices=False)
mat = u @ vh

print(mat @ mat.T) # -> eye(n)

Обратите внимание, что если n > m, получится mat.T @mat = eye(m).