Подтвердить что ты не робот

Вычисление обратной матрицы Java

Я пытаюсь вычислить обратную матрицу в Java.

Я следую сопряженному методу (первый расчет сопряженной матрицы, затем транспонирую эту матрицу и, наконец, умножьте ее на обратное значение детерминанта).

Это работает, когда матрица не слишком велика. Я проверил, что для матриц размером до 12x12 результат быстро предоставляется. Однако, когда матрица больше 12 × 12, время, необходимое для завершения вычисления, увеличивается экспоненциально.

Матрица, которую мне нужно инвертировать, равна 19x19, и это занимает слишком много времени. Метод, который требует больше времени, - это метод, используемый для вычисления детерминанта.

Используемый мной код:

public static double determinant(double[][] input) {
  int rows = nRows(input);        //number of rows in the matrix
  int columns = nColumns(input); //number of columns in the matrix
  double determinant = 0;

  if ((rows== 1) && (columns == 1)) return input[0][0];

  int sign = 1;     
  for (int column = 0; column < columns; column++) {
    double[][] submatrix = getSubmatrix(input, rows, columns,column);
    determinant = determinant + sign*input[0][column]*determinant(submatrix);
    sign*=-1;
  }
  return determinant;
}

Кто-нибудь знает, как более эффективно вычислить детерминант большой матрицы? Если нет, то кто-нибудь знает, как вычислить обратную сторону большой матрицы, используя другой алгоритм?

Спасибо

4b9b3361

ОТВЕТЫ

Ответ 1

Экспоненциально? Нет, я считаю, что инверсия матрицы равна O (N ^ 3).

Я бы рекомендовал использовать разложение LU для решения матричного уравнения. Вам не нужно решать для детерминанта, когда вы его используете.

Еще лучше, посмотрите на пакет, который поможет вам. JAMA приходит на ум.

12x12 или 19x19 не являются крупными матрицами. Это обычное решение проблем с десятками или сотнями тысяч степеней свободы.

Вот пример использования JAMA. Вы должны иметь JAMA JAR в своем CLASSPATH во время компиляции и запуска:

package linearalgebra;

import Jama.LUDecomposition;
import Jama.Matrix;

public class JamaDemo
{
    public static void main(String[] args)
    {
        double [][] values = {{1, 1, 2}, {2, 4, -3}, {3, 6, -5}};  // each array is a row in the matrix
        double [] rhs = { 9, 1, 0 }; // rhs vector
        double [] answer = { 1, 2, 3 }; // this is the answer that you should get.

        Matrix a = new Matrix(values);
        a.print(10, 2);
        LUDecomposition luDecomposition = new LUDecomposition(a);
        luDecomposition.getL().print(10, 2); // lower matrix
        luDecomposition.getU().print(10, 2); // upper matrix

        Matrix b = new Matrix(rhs, rhs.length);
        Matrix x = luDecomposition.solve(b); // solve Ax = b for the unknown vector x
        x.print(10, 2); // print the solution
        Matrix residual = a.times(x).minus(b); // calculate the residual error
        double rnorm = residual.normInf(); // get the max error (yes, it very small)
        System.out.println("residual: " + rnorm);
    }
}

Здесь та же проблема решена с использованием Apache Commons Math, по рекомендации quant_dev:

package linearalgebra;

import org.apache.commons.math.linear.Array2DRowRealMatrix;
import org.apache.commons.math.linear.ArrayRealVector;
import org.apache.commons.math.linear.DecompositionSolver;
import org.apache.commons.math.linear.LUDecompositionImpl;
import org.apache.commons.math.linear.RealMatrix;
import org.apache.commons.math.linear.RealVector;

public class LinearAlgebraDemo
{
    public static void main(String[] args)
    {
        double [][] values = {{1, 1, 2}, {2, 4, -3}, {3, 6, -5}};
        double [] rhs = { 9, 1, 0 };

        RealMatrix a = new Array2DRowRealMatrix(values);
        System.out.println("a matrix: " + a);
        DecompositionSolver solver = new LUDecompositionImpl(a).getSolver();

        RealVector b = new ArrayRealVector(rhs);
        RealVector x = solver.solve(b);
        System.out.println("solution x: " + x);;
        RealVector residual = a.operate(x).subtract(b);
        double rnorm = residual.getLInfNorm();
        System.out.println("residual: " + rnorm);
    }
}

Адаптируйте их к своей ситуации.

Ответ 2

Я бы рекомендовал использовать Apache Commons Math 2.0 для этого. JAMA - это мертвый проект. ACM 2.0 фактически взял линейную алгебру от JAMA и развил ее дальше.

Ответ 3

Матричная инверсия вычисляется очень интенсивно. Как сказал duffymo, LU - хороший алгоритм, и есть другие варианты (например, QR).

К сожалению, вы не можете избавиться от тяжелых вычислений... и, возможно, bottelneck - это метод getSubmatrix, если вы не используете оптимизированную библиотеку.

Кроме того, специальные матрицы (полосатичность, симметрия, диагональность, разреженность) оказывают большое влияние на производительность, если учитывать их в расчетах. Ваш пробег может меняться...

Ответ 4

Вы НИКОГДА не хотите вычислять обратную матрицу таким образом. Итак, следует избегать вычисления обратного, поскольку почти всегда лучше использовать факторизацию, такую ​​как LU.

Вычисление определителя с использованием рекурсивных вычислений является численно непристойным. Оказывается, лучший выбор - использовать факторизацию LU для вычисления детерминанта. Но, если вы собираетесь беспокоиться о вычислении LU-факторов, то почему вы, возможно, захотите вычислить инверсию? Вы уже выполнили сложную работу, вычислив коэффициенты LU.

Как только у вас есть коэффициенты LU, вы можете использовать их для выполнения обратной и прямой подстановки.

Поскольку размер матрицы 19x19 велик, он даже не близок к тому, что я бы назвал большим.

Ответ 5

Библиотека la4j (Linear Algebra for Java) поддерживает инверсию матрицы. Вот краткий пример:

Matrix a = new Basic2DMatrix(new double[][]{
   { 1.0, 2.0, 3.0 },
   { 4.0, 5.0, 6.0 },
   { 7.0, 8.0. 9.0 }
});

Matrix b = a.invert(Matrices.DEFAULT_INVERTOR); // uses Gaussian Elimination

Ответ 6

Ваш алгоритм вычисления детерминанта действительно экспоненциальный. Основная проблема заключается в том, что вы вычисляете из определения, а прямое определение приводит к экспоненциальному количеству поддетерминантов для вычисления. Вам нужно сначала преобразовать матрицу, прежде чем вычислять ее определитель или ее обратный. (Я думал об объяснении динамического программирования, но эта проблема не может быть решена путем динамического программирования, так как число подзадач также экспоненциально.)

Разложение LU, как рекомендовано другими, является хорошим выбором. Если вы новичок в вычислении матриц, вы также можете посмотреть на исключение Гаусса для вычисления детерминант и инверсий, поскольку это может быть немного легче понять сначала.

И одна вещь, которую нужно запомнить в инверсии матрицы, - это численная стабильность, поскольку вы имеете дело с числами с плавающей запятой. Весь хороший алгоритм включает перестановки строк и/или столбцов для выбора подходящих опорных точек, как они называются. По крайней мере, в случае исключения Гаусса на каждом шаге вы должны переставлять столбцы так, чтобы элемент, наибольший по абсолютной величине, выбирался как опорный элемент, так как это самый стабильный выбор.

Ответ 7

Трудно бить Матлаба в их игре. Они также точно знают о точности. Если у вас 2.0 и 2.00001 в качестве поворота - следите! Ваш ответ может оказаться очень неточным. Кроме того, проверьте реализацию Python (она находится в numpy/scipy где-то...)

Ответ 8

У вас должно быть точное решение? Приблизительный решатель (Gauss-Seidel очень эффективен и прост в реализации), скорее всего, сработает для вас и сходится очень быстро. 19x19 - довольно маленькая матрица. Я думаю, что код Гаусса-Зейделя, который я использовал, может мгновенно решить матрицу 128x128 (но не цитируйте меня на этом, это было какое-то время).

Ответ 9

Так как библиотека ACM обновлялась с годами, вот реализация, соответствующая последнему определению для инверсии матрицы.

import org.apache.commons.math3.linear.Array2DRowRealMatrix;
import org.apache.commons.math3.linear.ArrayRealVector;
import org.apache.commons.math3.linear.DecompositionSolver;
import org.apache.commons.math3.linear.LUDecomposition;
import org.apache.commons.math3.linear.RealMatrix;
import org.apache.commons.math3.linear.RealVector;

public class LinearAlgebraDemo
{
    public static void main(String[] args)
    {
        double [][] values = {{1, 1, 2}, {2, 4, -3}, {3, 6, -5}};
        double [][] rhs = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};

        // Solving AB = I for given A
        RealMatrix A = new Array2DRowRealMatrix(values);
        System.out.println("Input A: " + A);
        DecompositionSolver solver = new LUDecomposition(A).getSolver();

        RealMatrix I = new Array2DRowRealMatrix(rhs);
        RealMatrix B = solver.solve(I);
        System.out.println("Inverse B: " + B);
    }
}

Ответ 10

Для тех, кто ищет инверсию матрицы (не быстро), см. Https://github.com/rchen8/Algorithms/blob/master/Matrix.java.

import java.util.Arrays;

public class Matrix {

    private static double determinant(double[][] matrix) {
        if (matrix.length != matrix[0].length)
            throw new IllegalStateException("invalid dimensions");

        if (matrix.length == 2)
            return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];

        double det = 0;
        for (int i = 0; i < matrix[0].length; i++)
            det += Math.pow(-1, i) * matrix[0][i]
                    * determinant(minor(matrix, 0, i));
        return det;
    }

    private static double[][] inverse(double[][] matrix) {
        double[][] inverse = new double[matrix.length][matrix.length];

        // minors and cofactors
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++)
            for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++)
                inverse[i][j] = Math.pow(-1, i + j)
                        * determinant(minor(matrix, i, j));

        // adjugate and determinant
        double det = 1.0 / determinant(matrix);
        for (int i = 0; i < inverse.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                double temp = inverse[i][j];
                inverse[i][j] = inverse[j][i] * det;
                inverse[j][i] = temp * det;
            }
        }

        return inverse;
    }

    private static double[][] minor(double[][] matrix, int row, int column) {
        double[][] minor = new double[matrix.length - 1][matrix.length - 1];

        for (int i = 0; i < matrix.length; i++)
            for (int j = 0; i != row && j < matrix[i].length; j++)
                if (j != column)
                    minor[i < row ? i : i - 1][j < column ? j : j - 1] = matrix[i][j];
        return minor;
    }

    private static double[][] multiply(double[][] a, double[][] b) {
        if (a[0].length != b.length)
            throw new IllegalStateException("invalid dimensions");

        double[][] matrix = new double[a.length][b[0].length];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < b[0].length; j++) {
                double sum = 0;
                for (int k = 0; k < a[i].length; k++)
                    sum += a[i][k] * b[k][j];
                matrix[i][j] = sum;
            }
        }

        return matrix;
    }

    private static double[][] rref(double[][] matrix) {
        double[][] rref = new double[matrix.length][];
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++)
            rref[i] = Arrays.copyOf(matrix[i], matrix[i].length);

        int r = 0;
        for (int c = 0; c < rref[0].length && r < rref.length; c++) {
            int j = r;
            for (int i = r + 1; i < rref.length; i++)
                if (Math.abs(rref[i][c]) > Math.abs(rref[j][c]))
                    j = i;
            if (Math.abs(rref[j][c]) < 0.00001)
                continue;

            double[] temp = rref[j];
            rref[j] = rref[r];
            rref[r] = temp;

            double s = 1.0 / rref[r][c];
            for (j = 0; j < rref[0].length; j++)
                rref[r][j] *= s;
            for (int i = 0; i < rref.length; i++) {
                if (i != r) {
                    double t = rref[i][c];
                    for (j = 0; j < rref[0].length; j++)
                        rref[i][j] -= t * rref[r][j];
                }
            }
            r++;
        }

        return rref;
    }

    private static double[][] transpose(double[][] matrix) {
        double[][] transpose = new double[matrix[0].length][matrix.length];

        for (int i = 0; i < matrix.length; i++)
            for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++)
                transpose[j][i] = matrix[i][j];
        return transpose;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // example 1 - solving a system of equations
        double[][] a = { { 1, 1, 1 }, { 0, 2, 5 }, { 2, 5, -1 } };
        double[][] b = { { 6 }, { -4 }, { 27 } };

        double[][] matrix = multiply(inverse(a), b);
        for (double[] i : matrix)
            System.out.println(Arrays.toString(i));
        System.out.println();

        // example 2 - example 1 using reduced row echelon form
        a = new double[][]{ { 1, 1, 1, 6 }, { 0, 2, 5, -4 }, { 2, 5, -1, 27 } };
        matrix = rref(a);
        for (double[] i : matrix)
            System.out.println(Arrays.toString(i));
        System.out.println();

        // example 3 - solving a normal equation for linear regression
        double[][] x = { { 2104, 5, 1, 45 }, { 1416, 3, 2, 40 },
                { 1534, 3, 2, 30 }, { 852, 2, 1, 36 } };
        double[][] y = { { 460 }, { 232 }, { 315 }, { 178 } };

        matrix = multiply(
                multiply(inverse(multiply(transpose(x), x)), transpose(x)), y);
        for (double[] i : matrix)
            System.out.println(Arrays.toString(i));
    }

}

Ответ 11

Разложение LU хорошо работает для разреженных матриц. Может быть, Эльза Гаусс Джордан. Вы также можете попробовать метод Доджсона, но вы должны быть осторожны с делением на ноль.