Найти k-й наименьший элемент в двоичном дереве поиска Оптимальным способом

Ответ 1

Вот только схема идеи:

В BST левое поддерево node T содержит только элементы, меньшие, чем значение, хранящееся в T. Если k меньше числа элементов в левом поддереве, наименьший элемент k th должен принадлежать левому поддереву. В противном случае, если k больше, то наименьший элемент k th находится в правом поддереве.

Мы можем увеличить BST, чтобы каждый node хранил количество элементов в своем левом поддереве (предположим, что левое поддерево данного node включает в себя node). С помощью этой информации вы можете просто пересечь дерево, повторяя количество элементов в левом поддереве, чтобы решить, следует ли выполнять рекурсию в левом или правом поддереве.

Теперь предположим, что мы находимся в node T:

• Если k == num_elements (левое поддерево T), тогда ответ, который мы ищем, это значение в node T.
• Если k > num_elements (левое поддерево T), то, очевидно, мы можем игнорировать левое поддерево, потому что эти элементы также будут меньше, чем k th наименьшее. Итак, мы уменьшаем проблему до нахождения наименьшего элемента k - num_elements(left subtree of T) правого поддерева.
• Если k < num_elements (левое поддерево T), тогда k th самый маленький находится где-то в левом поддереве, поэтому мы уменьшаем проблему до нахождения наименьшего элемента k th в левом поддереве.

Анализ сложности:

Это занимает O(depth of node) время, которое O(log n) в худшем случае на сбалансированном BST или O(log n) в среднем для случайного BST.

Для BST требуется хранилище O(n), и для хранения информации о количестве элементов требуется еще O(n). Все операции BST занимают время O(depth of node), и для сохранения информации о количестве элементов для вставки, удаления или вращения узлов требуется O(depth of node) дополнительное время. Поэтому сохранение информации о количестве элементов в левом поддереве сохраняет пространственную и временную сложность BST.

Ответ 2

Более простым решением было бы сделать обход внутри и отслеживать элемент, который в настоящее время печатается (без его печати). Когда мы достигнем k, напечатаем элемент и пропустим обход дерева.

void findK(Node* p, int* k) {
  if(!p || k < 0) return;
  findK(p->left, k);
  --k;
  if(k == 0) { 
    print p->data;
    return;  
  } 
  findK(p->right, k); 
}

Ответ 3

public int ReturnKthSmallestElement1(int k)
    {
        Node node = Root;

        int count = k;

        int sizeOfLeftSubtree = 0;

        while(node != null)
        {

            sizeOfLeftSubtree = node.SizeOfLeftSubtree();

            if (sizeOfLeftSubtree + 1 == count)
                return node.Value;
            else if (sizeOfLeftSubtree < count)
            {
                node = node.Right;
                count -= sizeOfLeftSubtree+1;
            }
            else
            {
                node = node.Left;
            }
        }

        return -1;
    }

это моя реализация в С#, основанная на вышеприведенном алгоритме, просто подумал, что я опубликую его, чтобы люди могли понять, что это работает для меня.

спасибо IVlad

Ответ 4

//добавить версию Java без рекурсии

public static <T> void find(TreeNode<T> node, int num){
    Stack<TreeNode<T>> stack = new Stack<TreeNode<T>>();

    TreeNode<T> current = node;
    int tmp = num;

    while(stack.size() > 0 || current!=null){
        if(current!= null){
            stack.add(current);
            current = current.getLeft();
        }else{
            current = stack.pop();
            tmp--;

            if(tmp == 0){
                System.out.println(current.getValue());
                return;
            }

            current = current.getRight();
        }
    }
}

Ответ 5

Более простым решением было бы сделать обход по порядку и отслеживать элемент, который в настоящее время печатается с помощью счетчика k. Когда мы достигнем k, напечатайте элемент. Время выполнения - O (n). Помните, что тип возвращаемого значения функции не может быть недействительным, он должен вернуть свое обновленное значение k после каждого рекурсивного вызова. Лучшим решением для этого было бы расширенное BST с отсортированным значением позиции на каждом node.

public static int kthSmallest (Node pivot, int k){
    if(pivot == null )
        return k;   
    k = kthSmallest(pivot.left, k);
    k--;
    if(k == 0){
        System.out.println(pivot.value);
    }
    k = kthSmallest(pivot.right, k);
    return k;
}

Ответ 6

Вы можете использовать итеративный обход по порядку: http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Iterative_Traversal с простой проверкой для k-го элемента после того, как выложили node из стека.

Ответ 7

Учитывая просто одно дерево двоичного поиска, обо всем, что вы можете сделать, это начать с самого маленького и повернуть вверх, чтобы найти правильный node.

Если вы собираетесь делать это очень часто, вы можете добавить атрибут к каждому node, указав, сколько узлов находится в его левом поддереве. Используя это, вы можете спуститься к дереву непосредственно к правильному node.

Ответ 8

Рекурсивная прогулка в порядке с счетчиком

Time Complexity: O( N ), N is the number of nodes
Space Complexity: O( 1 ), excluding the function call stack

Идея аналогична решению @prasadvk, но у нее есть некоторые недостатки (см. примечания ниже), поэтому я отправляю это как отдельный ответ.

// Private Helper Macro
#define testAndReturn( k, counter, result )                         \
    do { if( (counter == k) && (result == -1) ) {                   \
        result = pn->key_;                                          \
        return;                                                     \
    } } while( 0 )

// Private Helper Function
static void findKthSmallest(
    BstNode const * pn, int const k, int & counter, int & result ) {

    if( ! pn ) return;

    findKthSmallest( pn->left_, k, counter, result );
    testAndReturn( k, counter, result );

    counter += 1;
    testAndReturn( k, counter, result );

    findKthSmallest( pn->right_, k, counter, result );
    testAndReturn( k, counter, result );
}

// Public API function
void findKthSmallest( Bst const * pt, int const k ) {
    int counter = 0;
    int result = -1;        // -1 := not found
    findKthSmallest( pt->root_, k, counter, result );
    printf("%d-th element: element = %d\n", k, result );
}

Примечания (и отличия от решения @prasadvk):

• if( counter == k ) требуется тест в трех местах: (a) после левого поддерева, (b) после root и (c) после правого поддерева. Это значение гарантирует, что k-й элемент обнаружен для всех местоположений, то есть независимо от поддерева, в котором он находится.

• if( result == -1 ) требуется проверка, чтобы печатался только элемент результатов, в противном случае печатаются все элементы, начиная с k-го наименьшего до корня.

Ответ 9

Для сбалансированного дерева поиска не требуется O (n).

Для сбалансированного дерева поиска он принимает O (k + log n) в худшем случае, но только O (k) в Амортизированном смысле.

Наличие и управление дополнительным целым числом для каждого node: размер поддерева дает сложность времени O (log n). Такое сбалансированное дерево поиска обычно называется RankTree.

В общем, существуют решения (основанные не на дереве).

С уважением.

Ответ 10

Это хорошо работает: status: это массив, который содержит элемент, найденный. k: находится k-ый элемент. count: отслеживает количество узлов, пройденных во время обхода дерева.

int kth(struct tree* node, int* status, int k, int count)
{
    if (!node) return count;
    count = kth(node->lft, status, k, count);  
    if( status[1] ) return status[0];
    if (count == k) { 
        status[0] = node->val;
        status[1] = 1;
        return status[0];
    }
    count = kth(node->rgt, status, k, count+1);
    if( status[1] ) return status[0];
    return count;
}

Ответ 11

Ну вот мои 2 цента...

int numBSTnodes(const Node* pNode){
     if(pNode == NULL) return 0;
     return (numBSTnodes(pNode->left)+numBSTnodes(pNode->right)+1);
}


//This function will find Kth smallest element
Node* findKthSmallestBSTelement(Node* root, int k){
     Node* pTrav = root;
     while(k > 0){
         int numNodes = numBSTnodes(pTrav->left);
         if(numNodes >= k){
              pTrav = pTrav->left;
         }
         else{
              //subtract left tree nodes and root count from 'k'
              k -= (numBSTnodes(pTrav->left) + 1);
              if(k == 0) return pTrav;
              pTrav = pTrav->right;
        }

        return NULL;
 }

Ответ 12

Хотя это определенно не оптимальное решение проблемы, это еще одно потенциальное решение, которое, по моему мнению, может показаться интересным людям:

/**
 * Treat the bst as a sorted list in descending order and find the element 
 * in position k.
 *
 * Time complexity BigO ( n^2 )
 *
 * 2n + sum( 1 * n/2 + 2 * n/4 + ... ( 2^n-1) * n/n ) = 
 * 2n + sigma a=1 to n ( (2^(a-1)) * n / 2^a ) = 2n + n(n-1)/4
 *
 * @param t The root of the binary search tree.
 * @param k The position of the element to find.
 * @return The value of the element at position k.
 */
public static int kElement2( Node t, int k ) {
    int treeSize = sizeOfTree( t );

    return kElement2( t, k, treeSize, 0 ).intValue();
}

/**
 * Find the value at position k in the bst by doing an in-order traversal 
 * of the tree and mapping the ascending order index to the descending order 
 * index.
 *
 *
 * @param t Root of the bst to search in.
 * @param k Index of the element being searched for.
 * @param treeSize Size of the entire bst.
 * @param count The number of node already visited.
 * @return Either the value of the kth node, or Double.POSITIVE_INFINITY if 
 *         not found in this sub-tree.
 */
private static Double kElement2( Node t, int k, int treeSize, int count ) {
    // Double.POSITIVE_INFINITY is a marker value indicating that the kth 
    // element wasn't found in this sub-tree.
    if ( t == null )
        return Double.POSITIVE_INFINITY;

    Double kea = kElement2( t.getLeftSon(), k, treeSize, count );

    if ( kea != Double.POSITIVE_INFINITY )
        return kea;

    // The index of the current node.
    count += 1 + sizeOfTree( t.getLeftSon() );

    // Given any index from the ascending in order traversal of the bst, 
    // treeSize + 1 - index gives the
    // corresponding index in the descending order list.
    if ( ( treeSize + 1 - count ) == k )
        return (double)t.getNumber();

    return kElement2( t.getRightSon(), k, treeSize, count );
}

Ответ 13

Подпись:

Node * find(Node* tree, int *n, int k);

вызывать как:

*n = 0;
kthNode = find(root, n, k);

определение:

Node * find ( Node * tree, int *n, int k)
{
   Node *temp = NULL;

   if (tree->left && *n<k)
      temp = find(tree->left, n, k);

   *n++;

   if(*n==k)
      temp = root;

   if (tree->right && *n<k)
      temp = find(tree->right, n, k);

   return temp;
}

Ответ 14

Это то, что я, хотя и работает. Он будет работать в o (log n)

public static int FindkThSmallestElemet(Node root, int k)
    {
        int count = 0;
        Node current = root;

        while (current != null)
        {
            count++;
            current = current.left;
        }
        current = root;

        while (current != null)
        {
            if (count == k)
                return current.data;
            else
            {
                current = current.left;
                count--;
            }
        }

        return -1;


    } // end of function FindkThSmallestElemet

Ответ 15

Хорошо, мы можем просто использовать обход в порядке и нажимать посещенный элемент на стек. pop k количество раз, чтобы получить ответ.

мы также можем остановиться после k элементов

Ответ 16

Решение для полного случая BST: -

Node kSmallest(Node root, int k) {
  int i = root.size(); // 2^height - 1, single node is height = 1;
  Node result = root;
  while (i - 1 > k) {
    i = (i-1)/2;  // size of left subtree
    if (k < i) {
      result = result.left;
    } else {
      result = result.right;
      k -= i;
    }  
  }
  return i-1==k ? result: null;
}

Ответ 17

Ядро Linux имеет превосходную дополненную структуру данных с красным-черным деревом, которая поддерживает операции с рангами в O (log n) в linux/lib/rbtree.c.

Очень грубый порт Java также можно найти в http://code.google.com/p/refolding/source/browse/trunk/core/src/main/java/it/unibo/refolding/alg/RbTree.java вместе с RbRoot.java и RbNode.java. N-ый элемент может быть получен путем вызова RbNode.nth(RbNode node, int n), проходящего в корне дерева.

Ответ 18

Здесь краткая версия в С#, которая возвращает k-й наименьший элемент, но требует передачи k в качестве аргумента ref (это тот же подход, что и @prasadvk)

Node FindSmall(Node root, ref int k)
{
    if (root == null || k < 1)
        return null;

    Node node = FindSmall(root.LeftChild, ref k);
    if (node != null)
        return node;

    if (--k == 0)
        return node ?? root;
    return FindSmall(root.RightChild, ref k);
}

Это O (log n), чтобы найти самый маленький node, а затем O (k) для перехода к k-th node, поэтому он O (k + log n).

Ответ 19

http://www.geeksforgeeks.org/archives/10379

это точный ответ на этот вопрос: -

1. использование обходного пути по O (n) времени 2.using Добавленное дерево в k + log n время

Ответ 20

Я не мог найти лучший алгоритм... и решил написать один:) Исправьте меня, если это не так.

class KthLargestBST{
protected static int findKthSmallest(BSTNode root,int k){//user calls this function
    int [] result=findKthSmallest(root,k,0);//I call another function inside
    return result[1];
}
private static int[] findKthSmallest(BSTNode root,int k,int count){//returns result[]2 array containing count in rval[0] and desired element in rval[1] position.
    if(root==null){
        int[]  i=new int[2];
        i[0]=-1;
        i[1]=-1;
        return i;
    }else{
        int rval[]=new int[2];
        int temp[]=new int[2];
        rval=findKthSmallest(root.leftChild,k,count);
        if(rval[0]!=-1){
            count=rval[0];
        }
        count++;
        if(count==k){
            rval[1]=root.data;
        }
        temp=findKthSmallest(root.rightChild,k,(count));
        if(temp[0]!=-1){
            count=temp[0];
        }
        if(temp[1]!=-1){
            rval[1]=temp[1];
        }
        rval[0]=count;
        return rval;
    }
}
public static void main(String args[]){
    BinarySearchTree bst=new BinarySearchTree();
    bst.insert(6);
    bst.insert(8);
    bst.insert(7);
    bst.insert(4);
    bst.insert(3);
    bst.insert(4);
    bst.insert(1);
    bst.insert(12);
    bst.insert(18);
    bst.insert(15);
    bst.insert(16);
    bst.inOrderTraversal();
    System.out.println();
    System.out.println(findKthSmallest(bst.root,11));
}

}

Ответ 21

Вот код java,

max (Node root, int k) - найти k-е наибольшее

min (Node root, int k) - найти kth Smallest

static int count(Node root){
    if(root == null)
        return 0;
    else
        return count(root.left) + count(root.right) +1;
}
static int max(Node root, int k) {
    if(root == null)
        return -1;
    int right= count(root.right);

    if(k == right+1)
        return root.data;
    else if(right < k)
        return max(root.left, k-right-1);
    else return max(root.right, k);
}

static int min(Node root, int k) {
    if (root==null)
        return -1;

    int left= count(root.left);
    if(k == left+1)
        return root.data;
    else if (left < k)
        return min(root.right, k-left-1);
    else
        return min(root.left, k);
}

Ответ 22

это тоже сработает. просто вызовите функцию с maxNode в дереве

def k_largest (self, node, k):       если k < 0:           return None
      если k == 0:           return node      еще:           k - = 1           return self.k_largest (self.predecessor(node), k)

Ответ 23

Я думаю, что это лучше, чем принятый ответ, потому что ему не нужно изменять исходное дерево node, чтобы сохранить количество его дочерних узлов.

Нам просто нужно использовать обход в порядке, чтобы подсчитать наименьший node слева направо, прекратить поиск, когда счетчик равен K.

private static int count = 0;
public static void printKthSmallestNode(Node node, int k){
    if(node == null){
        return;
    }

    if( node.getLeftNode() != null ){
        printKthSmallestNode(node.getLeftNode(), k);
    }

    count ++ ;
    if(count <= k )
        System.out.println(node.getValue() + ", count=" + count + ", k=" + k);

    if(count < k  && node.getRightNode() != null)
        printKthSmallestNode(node.getRightNode(), k);
}

Ответ 24

Решение IVlad с использованием order statistics tree является наиболее эффективным. Но если вы не можете использовать order statistics tree и застряли с обычным старым BST, лучшим способом будет сделать In Order Traversal (как указано прасадком). Но его решение неадекватно, если вы хотите вернуть k-й наименьший элемент, а не просто распечатать значение. Кроме того, поскольку его решение является рекурсивным, существует опасность. Поэтому я написал java-решение, которое возвращает k-й наименьший node, и использует стек для выполнения Inverse Traversal. Время выполнения - O (n), а пространственная сложность - O (h), где h - максимальная высота дерева.

// The 0th element is defined to be the smallest element in the tree.
public Node find_kth_element(Node root , int k) {

    if (root == null || k < 0) return null;

    Deque<Node> stack = new ArrayDeque<Node>();
    stack.push(root);

    while (!stack.isEmpty()) {

        Node curr = stack.peek();

        if (curr.left != null) {

            stack.push(curr.left);
            continue;
        }

        if (k == 0) return curr;
        stack.pop();
        --k;

        if (curr.right != null) {

            stack.push(curr.right);

        }

    }

    return null;
}

Ответ 25

Лучший подход уже существует. Но я хотел бы добавить простой код для этого

int kthsmallest(treenode *q,int k){
int n = size(q->left) + 1;
if(n==k){
    return q->val;
}
if(n > k){
    return kthsmallest(q->left,k);
}
if(n < k){
    return kthsmallest(q->right,k - n);
}

}

int size(treenode *q){
if(q==NULL){
    return 0;
}
else{
    return ( size(q->left) + size(q->right) + 1 );
}}

Ответ 26

Использование вспомогательного класса результатов для отслеживания, если найдено node и текущий k.

public class KthSmallestElementWithAux {

public int kthsmallest(TreeNode a, int k) {
    TreeNode ans = kthsmallestRec(a, k).node;
    if (ans != null) {
        return ans.val;
    } else {
        return -1;
    }
}

private Result kthsmallestRec(TreeNode a, int k) {
    //Leaf node, do nothing and return
    if (a == null) {
        return new Result(k, null);
    }

    //Search left first
    Result leftSearch = kthsmallestRec(a.left, k);

    //We are done, no need to check right.
    if (leftSearch.node != null) {
        return leftSearch;
    }

    //Consider number of nodes found to the left
    k = leftSearch.k;

    //Check if current root is the solution before going right
    k--;
    if (k == 0) {
        return new Result(k - 1, a);
    }

    //Check right
    Result rightBalanced = kthsmallestRec(a.right, k);

    //Consider all nodes found to the right
    k = rightBalanced.k;

    if (rightBalanced.node != null) {
        return rightBalanced;
    }

    //No node found, recursion will continue at the higher level
    return new Result(k, null);

}

private class Result {
    private final int k;
    private final TreeNode node;

    Result(int max, TreeNode node) {
        this.k = max;
        this.node = node;
    }
}
}

Ответ 27

Я написал аккуратную функцию для вычисления k-го наименьшего элемента. Я использую in-order traversal и останавливается, когда он достигает k-го наименьшего элемента.

void btree::kthSmallest(node* temp, int& k){
if( temp!= NULL)   {
 kthSmallest(temp->left,k);       
 if(k >0)
 {
     if(k==1)
    {
      cout<<temp->value<<endl;
      return;
    }

    k--;
 }

 kthSmallest(temp->right,k);  }}

Ответ 28

int RecPrintKSmallest(Node_ptr head,int k){
  if(head!=NULL){
    k=RecPrintKSmallest(head->left,k);
    if(k>0){
      printf("%c ",head->Node_key.key);
      k--;
    }
    k=RecPrintKSmallest(head->right,k);
  }
  return k;
}

Ответ 29

public TreeNode findKthElement(TreeNode root, int k){
    if((k==numberElement(root.left)+1)){
        return root;
    }
    else if(k>numberElement(root.left)+1){
        findKthElement(root.right,k-numberElement(root.left)-1);
    }
    else{
        findKthElement(root.left, k);
    }
}

public int numberElement(TreeNode node){
    if(node==null){
        return 0;
    }
    else{
        return numberElement(node.left) + numberElement(node.right) + 1;
    }
}

Ответ 30

public static Node kth(Node n, int k){
    Stack<Node> s=new Stack<Node>();
    int countPopped=0;
    while(!s.isEmpty()||n!=null){
      if(n!=null){
        s.push(n);
        n=n.left;
      }else{
        node=s.pop();
        countPopped++;
        if(countPopped==k){
            return node;
        }
        node=node.right;

      }
  }

}