Я делал этот курс по алгоритмам MIT. В первой лекции профессор представляет следующую проблему: -
Пик в 2D-массиве - это значение, такое, что все его 4 соседства меньше или равны ему, т.е. для
a[i][j] - локальный максимум,
a[i+1][j] <= a[i][j]
&& a[i-1][j] <= a[i][j]
&& a[i][j+1] <= a[i][j]
&& a[i+1][j-1] <= a[i][j]
Теперь, учитывая массив NxN 2D, найдите пик в массиве.
Этот вопрос можно легко решить в O(N^2) раз, итерируя все элементы и вернув пик.
Однако он может быть оптимизирован для решения в O(NlogN) времени с помощью решения divide и conquer, как описано здесь.
Но они сказали, что существует алгоритм времени O(N), который решает эту проблему. Пожалуйста, предложите, как решить эту проблему в O(N).
PS (для тех, кто знает python). Сотрудники курса объяснили подход здесь (проблема 1-5. Пиковое определение доказательств) и также предоставил некоторый код python в своих наборах проблем. Но описанный подход совершенно неочевиден и очень трудно расшифровать. Код python в равной степени запутан. Поэтому я скопировал основную часть кода ниже для тех, кто знает python и может определить, какой алгоритм используется из кода.
def algorithm4(problem, bestSeen = None, rowSplit = True, trace = None):
# if it empty, we're done
if problem.numRow <= 0 or problem.numCol <= 0:
return None
subproblems = []
divider = []
if rowSplit:
# the recursive subproblem will involve half the number of rows
mid = problem.numRow // 2
# information about the two subproblems
(subStartR1, subNumR1) = (0, mid)
(subStartR2, subNumR2) = (mid + 1, problem.numRow - (mid + 1))
(subStartC, subNumC) = (0, problem.numCol)
subproblems.append((subStartR1, subStartC, subNumR1, subNumC))
subproblems.append((subStartR2, subStartC, subNumR2, subNumC))
# get a list of all locations in the dividing column
divider = crossProduct([mid], range(problem.numCol))
else:
# the recursive subproblem will involve half the number of columns
mid = problem.numCol // 2
# information about the two subproblems
(subStartR, subNumR) = (0, problem.numRow)
(subStartC1, subNumC1) = (0, mid)
(subStartC2, subNumC2) = (mid + 1, problem.numCol - (mid + 1))
subproblems.append((subStartR, subStartC1, subNumR, subNumC1))
subproblems.append((subStartR, subStartC2, subNumR, subNumC2))
# get a list of all locations in the dividing column
divider = crossProduct(range(problem.numRow), [mid])
# find the maximum in the dividing row or column
bestLoc = problem.getMaximum(divider, trace)
neighbor = problem.getBetterNeighbor(bestLoc, trace)
# update the best we've seen so far based on this new maximum
if bestSeen is None or problem.get(neighbor) > problem.get(bestSeen):
bestSeen = neighbor
if not trace is None: trace.setBestSeen(bestSeen)
# return when we know we've found a peak
if neighbor == bestLoc and problem.get(bestLoc) >= problem.get(bestSeen):
if not trace is None: trace.foundPeak(bestLoc)
return bestLoc
# figure out which subproblem contains the largest number we've seen so
# far, and recurse, alternating between splitting on rows and splitting
# on columns
sub = problem.getSubproblemContaining(subproblems, bestSeen)
newBest = sub.getLocationInSelf(problem, bestSeen)
if not trace is None: trace.setProblemDimensions(sub)
result = algorithm4(sub, newBest, not rowSplit, trace)
return problem.getLocationInSelf(sub, result)
#Helper Method
def crossProduct(list1, list2):
"""
Returns all pairs with one item from the first list and one item from
the second list. (Cartesian product of the two lists.)
The code is equivalent to the following list comprehension:
return [(a, b) for a in list1 for b in list2]
but for easier reading and analysis, we have included more explicit code.
"""
answer = []
for a in list1:
for b in list2:
answer.append ((a, b))
return answer
