Скажем, у вас есть двумерная плоскость с двумя точками (называемыми a и b) на ней, представленными целым числом x и целым числом y для каждой точки.
Как вы можете определить, находится ли другая точка c в сегменте линии, определенном a и b?
Я использую python больше всего, но примеры на любом языке были бы полезны.
Убедитесь, что перекрестное произведение (ba) и (ca) равно 0, как говорит Дарий Бэкон, сообщает ли выровнены точки a, b и c.
Но, как вы хотите знать, находится ли c между a и b, вы также должны проверить, что скалярное произведение (ba) и (ca) положительно и меньше квадрата расстояния между a и b.
В неоптимизированном псевдокоде:
def isBetween(a, b, c):
crossproduct = (c.y - a.y) * (b.x - a.x) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
# compare versus epsilon for floating point values, or != 0 if using integers
if abs(crossproduct) > epsilon:
return False
dotproduct = (c.x - a.x) * (b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0:
return False
squaredlengthba = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct > squaredlengthba:
return False
return True
Вот как бы я это сделал:
def distance(a,b):
return sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2)
def is_between(a,c,b):
return distance(a,c) + distance(c,b) == distance(a,b)
Проверьте, является ли поперечное произведение b-a и c-a 0: это означает, что все точки являются коллинеарными. Если это так, проверьте, находятся ли c координаты между a и b. Используйте либо координаты x, либо y, если a и b являются отдельными на этой оси (или они одинаковы для обоих).
def is_on(a, b, c):
"Return true iff point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a, b, c)
and (within(a.x, c.x, b.x) if a.x != b.x else
within(a.y, c.y, b.y)))
def collinear(a, b, c):
"Return true iff a, b, and c all lie on the same line."
return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
def within(p, q, r):
"Return true iff q is between p and r (inclusive)."
return p <= q <= r or r <= q <= p
Этот ответ был бесполезным из трех обновлений. Полезная информация от них: Брайан Хейс глава в "Красивом коде" охватывает пространство для проверки функции коллинеарности - полезный фон. Ответ Vincent помог улучшить этот. И именно Хейс предложил проверить только одну из координат x или y; изначально код имел and вместо if a.x != b.x else.
Здесь другой подход:
Точка C (x3, y3) будет находиться между A и B, если:
Длина сегмента не важна, поэтому использование квадратного корня не требуется и его следует избегать, поскольку мы можем потерять некоторую точность.
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
class Segment:
def __init__(self, a, b):
self.a = a
self.b = b
def is_between(self, c):
# Check if slope of a to c is the same as a to b ;
# that is, when moving from a.x to c.x, c.y must be proportionally
# increased than it takes to get from a.x to b.x .
# Then, c.x must be between a.x and b.x, and c.y must be between a.y and b.y.
# => c is after a and before b, or the opposite
# that is, the absolute value of cmp(a, b) + cmp(b, c) is either 0 ( 1 + -1 )
# or 1 ( c == a or c == b)
a, b = self.a, self.b
return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y) and
abs(cmp(a.x, c.x) + cmp(b.x, c.x)) <= 1 and
abs(cmp(a.y, c.y) + cmp(b.y, c.y)) <= 1)
Некоторые случайные примеры использования:
a = Point(0,0)
b = Point(50,100)
c = Point(25,50)
d = Point(0,8)
print Segment(a,b).is_between(c)
print Segment(a,b).is_between(d)
Вот еще один способ сделать это, с кодом, приведенным на С++. Учитывая две точки, l1 и l2 тривиально, чтобы выразить сегмент линии между ними как
l1 + A(l2 - l1)
где 0 <= A <= 1. Это известно как векторное представление строки, если вы заинтересованы больше, чем просто использовать его для этой проблемы. Мы можем разделить составляющие x и y этого, давая:
x = l1.x + A(l2.x - l1.x)
y = l1.y + A(l2.y - l1.y)
Возьмите точку (x, y) и замените ее x и y компонентами на эти два выражения для решения для A. Точка находится на линии, если решения для A в обоих выражениях равны и 0 <= A < lt; = 1. Поскольку решение для A требует деления, существуют особые случаи, требующие обработки, чтобы остановить деление на ноль, когда сегмент линии является горизонтальным или вертикальным. Окончательное решение выглядит следующим образом:
// Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use
bool isBetween(double a, double b, double c) {
// return if c is between a and b
double larger = (a >= b) ? a : b;
double smaller = (a != larger) ? a : b;
return c <= larger && c >= smaller;
}
bool pointOnLine(Vec2<double> p, Vec2<double> l1, Vec2<double> l2) {
if(l2.x - l1.x == 0) return isBetween(l1.y, l2.y, p.y); // vertical line
if(l2.y - l1.y == 0) return isBetween(l1.x, l2.x, p.x); // horizontal line
double Ax = (p.x - l1.x) / (l2.x - l1.x);
double Ay = (p.y - l1.y) / (l2.y - l1.y);
// We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
// point comparison is fun!)
return fabs(Ax - Ay) < 0.000001 && Ax >= 0.0 && Ax <= 1.0;
}
Используя более геометрический подход, вычислите следующие расстояния:
ab = sqrt((a.x-b.x)**2 + (a.y-b.y)**2)
ac = sqrt((a.x-c.x)**2 + (a.y-c.y)**2)
bc = sqrt((b.x-c.x)**2 + (b.y-c.y)**2)
и проверьте, равен ли ac + bc ab:
is_on_segment = abs(ac + bc - ab) < EPSILON
Это потому, что есть три возможности:
Хорошо, много упоминаний о линейной алгебре (поперечное произведение векторов), и это работает в реальном (т.е. непрерывном или плавающем) пространстве, но в вопросе конкретно указано, что две точки были выражены как целые числа и, следовательно, перекрестное произведение не является правильным решением, хотя оно может дать приблизительное решение.
Правильное решение состоит в том, чтобы использовать Bresenham Line Algorithm между двумя точками и посмотреть, является ли третья точка одной из точек на линия. Если точки достаточно далеки, что вычисление алгоритма не выполняется (и для этого должно быть действительно очень важно), я уверен, что вы сможете копаться и находить оптимизацию.
Скалярное произведение между (c-a) и (b-a) должно быть равно произведению их длин (это означает, что векторы (c-a) и (b-a) выровнены и в одном направлении). Более того, длина (c-a) должна быть меньше или равна длине (b-a). Псевдокод:
# epsilon = small constant
def isBetween(a, b, c):
lengthca2 = (c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y)
lengthba2 = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if lengthca2 > lengthba2: return False
dotproduct = (c.x - a.x)*(b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0.0: return False
if abs(dotproduct*dotproduct - lengthca2*lengthba2) > epsilon: return False
return True
Мне нужно было это для javascript для использования в html5 canvas для определения того, был ли курсор пользователя завершен или рядом с определенной строкой. Поэтому я изменил ответ Дария Бэкона на coffeescript:
is_on = (a,b,c) ->
# "Return true if point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a,b,c) and withincheck(a,b,c))
withincheck = (a,b,c) ->
if a[0] != b[0]
within(a[0],c[0],b[0])
else
within(a[1],c[1],b[1])
collinear = (a,b,c) ->
# "Return true if a, b, and c all lie on the same line."
((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) < (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) + 1000) and ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) > (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) - 1000)
within = (p,q,r) ->
# "Return true if q is between p and r (inclusive)."
p <= q <= r or r <= q <= p
Вот как я это сделал в школе. Я забыл, почему это не очень хорошая идея.
ИЗМЕНИТЬ:
@Darius Bacon: цитирует книгу "Красивый код" , в которой содержится объяснение, почему нижеприведенный код не является хорошей идеей.
#!/usr/bin/env python
from __future__ import division
epsilon = 1e-6
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x, self.y = x, y
class LineSegment:
"""
>>> ls = LineSegment(Point(0,0), Point(2,4))
>>> Point(1, 2) in ls
True
>>> Point(.5, 1) in ls
True
>>> Point(.5, 1.1) in ls
False
>>> Point(-1, -2) in ls
False
>>> Point(.1, 0.20000001) in ls
True
>>> Point(.1, 0.2001) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 1), Point(3, 5))
>>> Point(2, 3) in ls
True
>>> Point(1.5, 2) in ls
True
>>> Point(0, -1) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 2), Point(1, 10))
>>> Point(1, 6) in ls
True
>>> Point(1, 1) in ls
False
>>> Point(2, 6) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(-1, 10), Point(5, 10))
>>> Point(3, 10) in ls
True
>>> Point(6, 10) in ls
False
>>> Point(5, 10) in ls
True
>>> Point(3, 11) in ls
False
"""
def __init__(self, a, b):
if a.x > b.x:
a, b = b, a
(self.x0, self.y0, self.x1, self.y1) = (a.x, a.y, b.x, b.y)
self.slope = (self.y1 - self.y0) / (self.x1 - self.x0) if self.x1 != self.x0 else None
def __contains__(self, c):
return (self.x0 <= c.x <= self.x1 and
min(self.y0, self.y1) <= c.y <= max(self.y0, self.y1) and
(not self.slope or -epsilon < (c.y - self.y(c.x)) < epsilon))
def y(self, x):
return self.slope * (x - self.x0) + self.y0
if __name__ == '__main__':
import doctest
doctest.testmod()
Любая точка на сегменте линии (a, b) (где a и b являются векторами) может быть выражена как линейная комбинация двух векторов a и b:
Другими словами, если c лежит на сегменте линии (a, b):
c = ma + (1 - m)b, where 0 <= m <= 1
Решая для m, получаем:
m = (c.x - b.x)/(a.x - b.x) = (c.y - b.y)/(a.y - b.y)
Итак, наш тест становится (в Python):
def is_on(a, b, c):
"""Is c on the line segment ab?"""
def _is_zero( val ):
return -epsilon < val < epsilon
x1 = a.x - b.x
x2 = c.x - b.x
y1 = a.y - b.y
y2 = c.y - b.y
if _is_zero(x1) and _is_zero(y1):
# a and b are the same point:
# so check that c is the same as a and b
return _is_zero(x2) and _is_zero(y2)
if _is_zero(x1):
# a and b are on same vertical line
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(x2) and 0 <= m2 <= 1
elif _is_zero(y1):
# a and b are on same horizontal line
m1 = x2 * 1.0 / x1
return _is_zero(y2) and 0 <= m1 <= 1
else:
m1 = x2 * 1.0 / x1
if m1 < 0 or m1 > 1:
return False
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(m2 - m1)
С# Из http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/ - > Тема 1.02: Как найти расстояние от точки до линии?
Boolean Contains(PointF from, PointF to, PointF pt, double epsilon)
{
double segmentLengthSqr = (to.X - from.X) * (to.X - from.X) + (to.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y);
double r = ((pt.X - from.X) * (to.X - from.X) + (pt.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y)) / segmentLengthSqr;
if(r<0 || r>1) return false;
double sl = ((from.Y - pt.Y) * (to.X - from.X) - (from.X - pt.X) * (to.Y - from.Y)) / System.Math.Sqrt(segmentLengthSqr);
return -epsilon <= sl && sl <= epsilon;
}
Вот какой код Java работал у меня:
boolean liesOnSegment(Coordinate a, Coordinate b, Coordinate c) {
double dotProduct = (c.x - a.x) * (c.x - b.x) + (c.y - a.y) * (c.y - b.y);
if (dotProduct < 0) return true;
return false;
}
как просто обеспечить, чтобы наклон был одинаковым, а точка между остальными?
заданные точки (x1, y1) и (x2, y2) (с x2 > x1) и точка-кандидат (a, b)
if (b-y1)/(a-x1) = (y2-y2)/(x2-x1) И x1 < a < x2
Тогда (a, b) должно быть на линии между (x1, y1) и (x2, y2)
Ответ на С# с использованием класса Vector2D
public static bool IsOnSegment(this Segment2D @this, Point2D c, double tolerance)
{
var distanceSquared = tolerance*tolerance;
// Start of segment to test point vector
var v = new Vector2D( @this.P0, c ).To3D();
// Segment vector
var s = new Vector2D( @this.P0, @this.P1 ).To3D();
// Dot product of s
var ss = s*s;
// k is the scalar we multiply s by to get the projection of c onto s
// where we assume s is an infinte line
var k = v*s/ss;
// Convert our tolerance to the units of the scalar quanity k
var kd = tolerance / Math.Sqrt( ss );
// Check that the projection is within the bounds
if (k <= -kd || k >= (1+kd))
{
return false;
}
// Find the projection point
var p = k*s;
// Find the vector between test point and it projection
var vp = (v - p);
// Check the distance is within tolerance.
return vp * vp < distanceSquared;
}
Обратите внимание, что
s * s
- это точечное произведение вектора сегмента через перегрузку оператора в С#
Ключ использует проекцию точки на бесконечную линию и наблюдает, что скалярная величина проекции говорит нам тривиально, если проекция находится на сегменте или нет. Мы можем скорректировать границы скалярной величины для использования нечеткого допуска.
Если проекция находится в пределах границ, мы просто проверяем, находится ли расстояние от точки до проекции в пределах.
Преимущество подхода с перекрестным продуктом заключается в том, что допуск имеет значимое значение.
Вы можете использовать клин и точечный продукт:
def dot(v,w): return v.x*w.x + v.y*w.y
def wedge(v,w): return v.x*w.y - v.y*w.x
def is_between(a,b,c):
v = a - b
w = b - c
return wedge(v,w) == 0 and dot(v,w) > 0
Вот мое решение с С# в Unity.
private bool _isPointOnLine( Vector2 ptLineStart, Vector2 ptLineEnd, Vector2 ptPoint )
{
bool bRes = false;
if((Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineStart.x) || Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineEnd.x)))
{
if(ptPoint.y > ptLineStart.y && ptPoint.y < ptLineEnd.y)
{
bRes = true;
}
}
else if((Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineStart.y) || Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineEnd.y)))
{
if(ptPoint.x > ptLineStart.x && ptPoint.x < ptLineEnd.x)
{
bRes = true;
}
}
return bRes;
}
С# версия ответа Жюля:
public static double CalcDistanceBetween2Points(double x1, double y1, double x2, double y2)
{
return Math.Sqrt(Math.Pow (x1-x2, 2) + Math.Pow (y1-y2, 2));
}
public static bool PointLinesOnLine (double x, double y, double x1, double y1, double x2, double y2, double allowedDistanceDifference)
{
double dist1 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x1, y1);
double dist2 = CalcDistanceBetween2Points(x, y, x2, y2);
double dist3 = CalcDistanceBetween2Points(x1, y1, x2, y2);
return Math.Abs(dist3 - (dist1 + dist2)) <= allowedDistanceDifference;
}