Быстрая трансформация матрицы

Ответ 1

Вы можете разложить матрицу на собственные значения и собственные векторы. Затем вы получите

M = V^-1 * D * V

Где V - матрица собственного вектора, а D - диагональная матрица. Чтобы поднять это до N-й степени, вы получите что-то вроде:

M^n = (V^-1 * D * V) * (V^-1 * D * V) * ... * (V^-1 * D * V)
    = V^-1 * D^n * V

Поскольку все члены V и V ^ -1 отменяются.

Так как D диагонально, вам просто нужно собрать кучу (реальных) чисел в n-ю степень, а не полные матрицы. Вы можете сделать это в логарифмическом времени в n.

Вычисление собственных значений и собственных векторов равно r ^ 3 (где r - количество строк/столбцов M). В зависимости от относительных размеров r и n это может быть быстрее или нет.

Ответ 2

Это довольно простое использование алгоритма быстрой мощности Euler. Используйте следующий алгоритм.

#define SIZE 10

//It simple E matrix
// 1 0 ... 0
// 0 1 ... 0
// ....
// 0 0 ... 1
void one(long a[SIZE][SIZE])
{
    for (int i = 0; i < SIZE; i++)
        for (int j = 0; j < SIZE; j++)
            a[i][j] = (i == j);
}

//Multiply matrix a to matrix b and print result into a
void mul(long a[SIZE][SIZE], long b[SIZE][SIZE])
{
    long res[SIZE][SIZE] = {{0}};

    for (int i = 0; i < SIZE; i++)
        for (int j = 0; j < SIZE; j++)
            for (int k = 0; k < SIZE; k++)
            {
                res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }

    for (int i = 0; i < SIZE; i++)
        for (int j = 0; j < SIZE; j++)
            a[i][j] = res[i][j];
}

//Caluclate a^n and print result into matrix res
void pow(long a[SIZE][SIZE], long n, long res[SIZE][SIZE])
{
    one(res);

    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 0)
        {
            mul(a, a);
            n /= 2;
        }
        else {
            mul(res, a);
            n--;
        }
    }
}

Ниже приведены эквиваленты номеров:

long power(long num, long pow)
{
    if (pow == 0) return 1;
    if (pow % 2 == 0)
        return power(num*num, pow / 2);
    else
        return power(num, pow - 1) * num;
}

Ответ 3

Экспоненциальное возведение в квадрат часто используется для получения высоких степеней матриц.

Ответ 4

Я бы рекомендовал подход, используемый для вычисления последовательности Фибоначчи в матричной форме. AFAIK, его эффективность равна O (log (n)).